Darstellung gegebener Funktionen. 



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ist. Nach Formel (2) ist die Funktion 



fii) = 2g 



e'—l 



e^+lj {e^-+iy 



integrierbar in (' — «>, + ooj. Und vermöge derselben Formel folgt aus dem Nichtbestehen von (4) auch das 

 Nichtbestehen von: 



X+ oo 

 /(£) (f (5, n) d.i = 0. 

 oo 



Damit sind die Bedingungen als notwendig erwiesen. 



Die Bedingungen sind hinreichend. In der Tat, wegen unserer Bedingung 1. genügt der Kern 

 (3) der Bedingung 1. von Satz I in <•— 1, 1 >>, und wegen unserer Bedingung 2. ist, nach (1), in jedem 

 Teilintervalle <:«, ß> von (—1, 1): 



ff 1 

 lim 1 (j) (m, n)- -du=::0. 



\-U^ 



1 



Da in <:a, ß > geschränkt ist, genügt der Kern: 



1 —u^ 



^ (u. n) • 



1-m2 



in jedem Teilintervalle < a, ß > von ( — 1, 1) beiden Bedingungen von Satz I, so daß wir nach Satz I 

 haben: 



fß r? 



lim I ']j (m, n) du =: lim / i 



n) du =: 

 Es ist nun leicht einzusehen, daß auch: 



( 1 — u'^) • (j; (u, n) dn = 0. 



1—u^ 



(5) 



lim I '|i (■«., n) du, := 0. 



In der Tat, da (abgesehen von Nullmengen): 



|(J; (m, m)| <: yT/ für alle m und alle w von ( — 1, 1), 

 gibt es zu jedem s > ein v] > 0, so daß für alle «: 



(6) 



X-l + Tj 

 (j) (jf, m) du 



Da, wie bereits gezeigt: 



ist, so haben wir: 



und somit, wegen (6): 



— ; I <^ (u, n) d u\ 



4 IJl-r. I 



A («, h) c/m =: 



(j< (it, W) du\<Z- 

 1 + -0 



s 

 4 



für alle u ^ «„, 





) üfM I <: E für alle w ^ «„. 



womit (5) bewiesen ist. 



So sehen wir, daß die Beziehung 



lim / (Ji (w, w) d7t =L 



.l=CO. 



