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nicht nur für alle Teilintervalle <ca, ß>- von (—1, 1), sondern auch für alle Teilintervalle von < — 1, 1 > 

 besteht. — Es genügt also der Kern A {u, n) in < — 1, 1 >- beiden Bedingungen von Satz I. 



Ist nun/(i) integrierbar in ( — oo, +oo), so ist nach (1) die Funktion 



integrierbar in < — 1, 1 >. Nach Satz I ist also: 



lim /„ if) = lim 1 g{u) ^ (u, n) du z=. 0. 



» = OO K = OO J_^ 



Damit sind die Bedingungen 1. und 2. als hinreichend erwiesen. 



Bemerken wir noch ausdrücklich, daß Bedingung 2. nur von endlichen Intervallen < a, ß > handelt. 

 Folgendes Beispiel zeigt, daß sie in Intervallen, die sich ins Unendliche erstrecken, nicht erfüllt zu sein 

 braucht; es sei: 



{ l in (m, w+1)- 



\ außerhalb (w, ii+\). 



Dann ist für jede in ( — oo, + oo) integrierbare Funktion: 



lim / °/(^)cp(^, n)rf4 = 0, 



während wir für jedes n haben: 



X 



oo 



IIa. »Damit lim J„ (/) ^ sei für alle Funktionen von %.-^, ist notwendig und hinreichend, daß cp {i, n) 



11 = oo 



den Bedingungen genügt; 



1. Es gibt eine Konstante M, so daß: 



■•+ oo 



-OO 



(5, n)y d^<M für alle n. 



2. Für jedes endliche Intervall <:a, ß>- ist; 



lim / tp(l, M 



n=ooja 



ß 



lim / tp (I, n) di=iQ. 



Die Bedingungen sind notwendig. Für 2. ist dies wieder evident. Wäre 1. nicht erfüllt, so würde, 

 wegen (1), der Kern; 



(7) .H%w)= v/2'fflg^-, '.^ ^ 



in <: — 1, 1 :> der Bedingung 1. von Satz II nicht genügen; es gäbe also eine in < — 1, 1 > samt 

 ihrem Quadrate integrierbare Funktion g (u), für die nicht: 



(8) lim I g (ti) tjj (m, n) du = 



n = ooJ_t 



ist. Nach Formel (2) ist das Quadrat der Funktion: 



