Dar.=;fe!lung gegebener Funktionen. 591 



in (— oo, +00) integrierbar. Da aber: 



(w) 4- (u, n) du - j °°f{i) ^ (i n) d i 



£ 



g (w) 4» (m, m) du = 

 -1 



ist, folgt aus dem Nichtbestehen von (8) auch das Niclitbestehen von lim ./„ (/) =z 0, 



Die Bedingungen sind hinreichend. In der Tat, wegen Bedingung 1. und Formel (1) genügt Kern 

 (7) der Bedingung 1. von Satz II. Ferner folgt aus unserer Bedingung 2., daß in jedem Teilintervalle 

 -< 7., 3 > von ( - I, li: 



hm 2 / rpllg = hm v/2 I '!j (». //) — =0 



" = 0° Ja \ ]— ?//l— »- « = 00 ^ " J„ ' \/l - «2 



ist. Da in <: a, ß > geschränkt ist, folgt, daß zugleich mit dem Kerne -h in, u) auch der Kern 



1 - - n- 



— '!) (u, n) 



v/ 2 — 'y r ^ in <: a, fi > der Bedingung 1. von Satz II genügt. Kr genügt also in <c a, |3 >- beiden 



\/l~n- 



Bedingungen von Satz II, so daß, nach Satz 11: 



lim / ' 'i> in, 11) du = lim / ' ll 'll -i lu, ;?).. /__? du = 



ist. Wie oben sehen wir, daß hieraus wieder Gleichung (5) folgt, nur haben wir uns beim Beweise von (6) 

 diesmal darauf zu berufen, daß nach der Schvvarz'schen Ungleichung: 



I 1 <\) (u, n) du\ <; y / Tj • / (6 («, ;/))- d u *< y/-^ • M 



ibt. — Wir sehen nun wieder, daß der Kern 'h (u, n) in < — 1, 1 > beiden Bedingungen von Satz II genügt. 

 Gehört nun/(^) in (— <», + 00) zu ^^ä. so gehört die Funktion 



-"«'=Vvl%i±j)v/ri, 



in <c — 1, 1 > zu 52- Nach Satz II ist also: 



lim ./„ (f) =: lim 1 g{u) -J; iu, n) dn^ = 0, 



womit bewiesen ist, daß die Bedingungen von Satz II ci hinreichend sind. Wie bei Satz I a sieht man, daß 



Bedingung 2. auch hier nur für endliche Intervalle <: a, ß >- erfüllt sein muß. 



III fl. Damit lim J„ (f) = sei für alle Funktionen von ^s- ist notwendig und hinreichend, daß tp (|, u) 

 II = 00 



den Bedingungen genügt: 



1. Zu jedem [j,>-0 gibt es ein >^>>0, so daß für jede Menge /sich nicht überdeckender Inter- 

 valle, deren Gesamtinhalt ^X ist, die Ungleichung besteht: 



I i'f (4, ")| d i < [i. für alle n. 



Und zu jedem jj. > gibt es ein A, so daß: 



X- .-1 .''+ 00 



I (p (6, n)\d^ < |j.; / I 'f ii, «) | ^ | < [a für alle n. 



00 Ja 



2. Für jedes endliche Intervall <: c, ß >- ist: 



lim / ' 



" = 00 Ja 



