592 H. Hahn, 



Die Bedingungen sind notwendig. Für 2. ist das trivial. Wäre 1. nicht erfüllt, so sieht man sofort, 

 daß der Kern : 



(9) i) iu, n) = 2 <p I lg _±ü, M,| — 1- 



' \ 1 — M j \ — H^ 



im Intervalle -< — 1, 1 > Bedingung 1. von Satz III nicht erfüllen würde; es gäbe also eine in <: — 1, 1 >» 

 zu i^s gehörige Funktion g{u), für die nicht: 



lim I g(u) 6 (ii, n) dit,=zO 



); = OO . 



-1 



wäre. Setzt man: 



\e'+l 

 so gehört f{i) in (— oo, -+■ oo) zu j^s i-irid es wird: 



g (m) 'i (m, m) rfw = / (^) cp (^, m) JI, 



1 J—oa 



so daß auch nicht lim J,, (/) r= wäre. 



/i = oo 



Die Bedingungen sind hinreichend. In der Tat folgt aus unserer Bedingung 1., daß der Kern (9) in 

 <;— 1, 1 > der Bedingung 1. von Satz III genügt. Ferner folgt aus unserer Bedingung 2., daß für jedes 

 Teilintervall <: a, ß :> von (—1, 1): 



lim I 'h {it., n) du =iO 

 " = °o Jn. 



ist. Wie bisher entnimmt man hieraus, daß auch: 



lim / tjj (m, w) c;? w = 



ist, nur hat man sich diesmal beim Beweise von (6) auf den zweiten Teil unserer Bedingung 1. zu berufen. 

 — Es genügt also 'b («, n) in <: — 1, 1 :> beiden Bedingungen ^'on Satz III. 



Gehört nun/ (5) in ( - 00, + co) zu '^.., so gehört 



{ii)—j lg 



in.<: — 1, 1 >- zu %oy Somit ist: 



lim J„ (/) = lim | g{n) ij> (11, n) du ^=. 



und Satz III a ist bewiesen. 



Da die Funktion /(l) = 1 (oder/(4) = 1 für 4 ^ 0, /(|) =: tür c < 0) zu g, gehört, ist es hier 

 notwendig, daß auch für unendliche Intervalle Bedingung 2. erfüllt sei: 



X+00 f'+oo . 



9 d, M.) c/^ = 0; lim I 'i (i, n) d^ z= 0. 

 00 ' " = °o Jo 



Doch braucht dies in Bedingung 2. nicht ausdrücklich aufgenommen zu werden, da es vermöge 

 Bedingung 1. aus der Gültigkeit von 2. für endliche Intervalle von .selbst folgt. 



IV a. Damit um J„ (/) = sei für alle Funktionen von g^, ist notwendig und hinreichend, daß tp (?, «) 



ji = 00 



den Bedingungen genügt: 



