Darstelhmg gegebener Funktionen. 593 



1. Es gibt eine Konstante M, so daß: 



'+00 



/: 



I cp (I, u)\d^<:M für alla. n. 

 2. Für jedes endliche Intervall <: a, ß >» ist 



lim / tp (^, '») c/g = 0, 

 '» = o° Ja 

 und es ist; 



cp (I, m) tf I = 0; lim I cp (i 7/) J | = 0. 

 oo " = °o Jo ' 



Der Beweis wird geführt wie für Satz III a. Nur folgt diesmal die Tatsache, daß der Kern (9) in 

 <: — 1, 1 >- der Bedingung 2. von Satz IV genügt, unmittelbar aus unserer Bedingung 2. 



Hier wäre es nicht hinreichend, Bedingung 2, bloß für endliche Intervalle auszusprechen, wie wieder 

 das schon einmal verwendete Beispiel zeigt: 



cp (6, n)= } 



(0 außerhalb («, M + 1). 



Es genügt dieses tp der Bedingung ]., sowie der Bedingung 2. für endliche Intervalle, während 

 wenn wir_/"z= 1 wählen, wir für jedes n haben: 



§ 2. Ein Hilfssatz von Haar und Lebesgue. . 



Wir kehren wieder zur Betrachtung endlicher Intervalle zurück, und beweisen folgenden Satz, den 

 wir weiterhin verwenden werden: ' 

 V. Ist die Menge der Zahlen 



/ 



'?(iny\di 



(n^{,2,...) nicht geschränkt, so gibt es eine in <a,b> stetige, in endlich vielen vor- 

 gegebenen Punkten .-Vj, .r^, . . ., Xp von < a, b > verschwindende Funktion f(x), für die nicht 

 \imln(f) = ist. 



n = oo 



Wir erinnern daran, daß (bei gegebenem ;/) zu jedem a >- ein z,, >» gehört, derart, daß für jede in 

 <:a,b^^ gelegene meßbare Menge % deren Inhalt < t„ ist, die Ungleichung gilt: 



(1) 



f\^(i,n)\d^<.r!. 



Ja 



Bezeichnen wir mit h,, (|) die Funktion, die =r 1 ist, wo cp (5, n) ^ 0, und =; — 1, wo tp (6, n) < 0, so 



gibt es nach Voraussetzung eine (wachsende) Indizesfolge ?;,■ mit lim 7;,- = 00, so daß: 



I = 00 



(2) lim f \ cp (I, ni)\di = lim f 'li,,,- (1) 'f (i n,) J| = + 00. 



lim I jcpd, M,-)|J| = lim I /?„. (|) 'p (i;, «,•) (/l 



Wir zeigen zunächst, daß es auch eine Folge in<:fl, ö>- stetiger Funktionen g„ (i) gibt, die, 

 ebenso wie die //„ (?) der Ungleichung genügen: 



(3) \gnm\^u 



1 H. Lebesgue, a. a. 0., p. 61. A. Haar, Math. Ann. 69. p. 335. Der im Tex\ gegebene Beweis unterscheidet sich nicht 

 wesentlich vom Lebesgue'schen Beweise. 



Denkschriften der matbenn.-naturw. Klasse, 93. Band. 80 



