594 H. Hahn, 



die sämtlich in x^, x„, . . ., Xp verschwinden, und für die gleichfalls: 



(4) lim r g„,. (i) tp (i, ni) di= + oo. 



' = <X> Ja 



Sei also a >> beliebig gegeben. Wir schließen die Menge ÜJt» aller Punkte von <: a, b >, in denen 

 tt (i;, n) ^ ist, in eine abzählbare Menge /„ sich nicht überdeckender Intervalle ein, deren Gesamtlänge 



den Inhalt von 3)f„ um weniger als — ^ übersteigt. ^ Von den unendlich vielen Intervallen von J„ behalten 



2 



wir eine endliche Menge /„ bei, deren Inhalt hinter dem von /„ um weniger als — ^ zurückbleibt. 



Bezeichnen wir nun mit A* (6) die Funktion, die = 1 ist in den Punkten von /„, sonst = — I ; dann 

 unterscheiden sich h„ und h* voneinander nur in den Punkten einer Menge, deren Inhalt ^ x,, ist, und 

 zwar ist in den Punkten dieser Menge: 



|Ä.„(|) -/;:,(?)! =2. 



Es ist also zufolge (1): 



(5) 



r K © ? (£, n) di- C hl (i) tp (6, n) di 



i/o Ja 



2a. 



Die Funktion /z* (£) ist auch noch unstetig, hat aber nur mehr endlich viele Unstetigkeitspunkte 

 i^x'Afy ---Aq"- Wir umgeben jeden derselben mit einem Intervalle < |-'"— Äf, ?■"' + /?"">, wo die 

 ä""(>=-0) so klein gewählt seien, daß alle diese Intervalle in (a, b) liegen, keine zwei einen Punkt gemein 

 haben und : 

 (6) 2 (Ä^'O + 74«) + . . . + h'i") < z,, 



ist. Nun definieren wir eine Funktion g^, i't) durch die Vorschrift: es ist g*, (i) = /;* (|) außerhalb der Inter- 

 valle (l™'—/«™', il:"' + 7/i"'); in jedem dieser Intervalle ist ^,* (6) gleich derjenigen linearen Funktion, die in 

 den beiden Endpunkten des Intervalles mit Ä* (|) übereinstimmt. Dann unterscheiden sich g*^ und ^l*^ von- 

 einander nur in den Punkten einer Menge, deren Inhalt <; t„ ist (wegen (6)) und in den Punkten dieser 

 Menge ist: 



so daß, wegen (1): 



(7) 



rh*, (i) cp (6, n) di~ j V (I) (p (^, n) di 



Ja Ja 



<2a. 



Die Funktion ^* {i) ist bereits stetig, genügt der Ungleichung j^ (^)j ^ 1, erfüllt aber noch nicht die 

 Bedingung, in ,r^, x^,. . ., Xp zu verschwinden. 



Um auch das zu erreichen, legen wir um jeden dieser Punkte ein Intervall '■^ <::i^j — Äi'", a.'8-+-Äf*'>>, 

 wo die Ui" (>- 0) so klein gewählt seien, daß alle diese Intervalle in < a, b 7^ liegen, keine zwei einen 

 Punkt gemein haben und: 



ist. Sodann definieren wir die Funktion _g^,, (4) durch die Vorschrift: es ist ^'„ (|) =: ^* (^) außerhalb der 

 Intervalle (,r,- — ^"", Xi+k'i'"); in jedem der Intervalle < ,r, — fe-"', .r,-:>, beziehungsweise <:xi, Xi+k'/'^ > ist 

 g,, (^) gleich derjenigen linearen Funktion, die in Xf verschwindet und in .v, — Ä/'", beziehungsweise Xi+k'/'^ 

 mit ^* (I) übereinstimmt. Dann unterscheiden sich tf„ und ,§* nur in den Punkten einer Menge, deren 

 Inhalt >- T„ ist, und in den Punkten dieser Menge ist: 



\gna)-g:Am<2, 



1 Dabei bedeutet t„ die zufolge der eingangs gemachten Bemerkung der Größe c zugeordnete Größe. 

 - Fällt der Punkt ;i;j. mit a oder mit b zusammen, hat es statt dessen zu heißen: 



•da. a-h Äf> > oder <b — kf», b >. 



