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H. Hahn, 



Hierin ist, wegen (11): 



(15) 



und wegen (12): 



(16) 



/(v) U(l) 



2L(« 



^2) 



1 



2V-2 i(v-2) 



^(v-1) <1 



P) 



1 



cf(v) 



2-;-! Ij:/-!) 



Endlich ist, wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (14): 



/(v) 



1 



-^v+l) + 



1 



\2'' LW" 2^+1 L^+i) 



und somit, wegen (3), (9) und (13): 



^^+2) + . . . 



1 



2-' Z,W 



7(v)(^{v+i))_(. 



1 



2v+l£(v+l) 



. /(v) (^■(^'+2)) 



i(v) 



1 



2^ iW 



^v+« ^. 



1 



2v+i £,(i+i) 



-^' 



>+2) 



(17) 



1 



• LW + 



^- Z,W+...<— (fürv>l). 



2V+1 2:,(v+i) — 2 



2^ iW 

 Die Ungleichungen (15), (16), (17) ergeben nun zusammen: 





1 



und da lim m, = oo war, so ist nicht lim I,, (/) = 0, womit Satz V erwiesen ist. 



V = oo V 11 = oo 



§ 3. Darstellung der Ableitungen einer gegebenen Funktion. 



Wir nehmen nun ah, es sei tp (|, x, n) für jedes nicht negative ganzzahlige 11 und für alle x des 

 endlichen Intervalles {a, &) in <: a, & > als integrierbare Funktion von k gegeben; wir bezeichnen tp (?, x, n) 

 mit einem der Theorie der Integralgleichungen entlehnten Ausdruck als Kern und setzen: 



Inif,x)= rf{i)^{i,x,n)dl 



Es wurde von H. Lebesgue folgender Satz bewiesen: ^ 



VI. »Damit für alle der Klasse %i angehörigen Funktionen/ die im gegebenen Punkte x von {a, b) 

 stetig sind, die Gleichung gelte: 



f{x)= lim In(J,x), 

 11 = 00 



ist notwendig und hinreichend, daß der Kern as (i,x,H) folgenden Bedingungen genügt: 



1. In jedem den Punkt x nicht enthaltenden Teilintervalle < a, ß > von < a, b > ist Bedingung 1. 

 desjenigen der Sätze I bis IV erfüllt, der sich auf die Klasse "^i bezieht. 



2. Für jedes den Punkt x nicht enthaltende Teilintervall < a, ß >- von <: a, b > ist: 



lim I ?5 (^, X, n) ci? I = 0. 



«=00 Ja 



3. Es gibt eine Konstante N, so daß 



Ja 



tp (4, X, n)\ di<:N für alle n. 



1 A. a. 0., p. 69 ff. 



