Darstellltmg gegebener Ftmklionen. 597 



4. Es ist: 



lim r 



b 



cp(|, X, n) diz= 1.« 



Wir wollen nun im Folgenden den Satz beweisen: 



VII. Damit für alle der Klasse ^i ange hörigen Funktionen/^ die im gegebenen Pun i<te x 

 von (a, b) endliche Ableitungen der m ersten Ordnungen haben, die Gleichung gelte: 



(1) ß'"){x)=:]iml„(f,x), 



ist notwendig und hinreichend, daß der Kern 'f (|, x, n) folgenden Bedingungen genüge: 



1. In jedem den Punkt, r nicht enthaltenden Teilintervalle < a, ß >> von <c fl, Z; >> ist 

 Bedingung 1. desjenigen der Sätze I bis IV erfüllt, der sich auf die Klasse %i bezieht. ^ 



2. Für jedes den Punkt ,v- nicht enthaltende Teilintervall < a, ß > von <. a, b ::> ist: 



lim / 'f (6, X, n) di = 0. 



" = o° Ja 



3. Es gibt eine Konstante N, so daß 



(2) r I (i - x)"' tp (i X, n) \di<: N für alle n. 



4. Es ist: 

 (3) 



lim r {h-xy 'S (^, X, n) di = (/ = 1,2..., ni - 1), 



(4) lim I (6-.r)"'!p (£, -r, m)^s = 7«/ 



« = °°Ja 



Die Bedingungen sind hinreichend: In der Tat, wenn/(4) im Punkte x endliche Ableitungen der 

 ersten in Ordnungen hat, so können wir schreiben: 



(^) /(£) =/(.r) + Y^StlpLfi.) (;^.) + (4-^)'"..« (£), 



»=1 

 wo: 



^6) lim <o(|) = 



ist; setzen wir also co (x) = 0, so ist die Funktion w (s) im Punkte a; stetig. 

 Wegen (5) ist nun: 



/„ (f, X) =f(x) C's (a, X, n)dk-\-Y^ ^^^ ra-xy cp (I, X, n) di + Cm {i) («-.r)'" cp (|, x, n) di. 



Wegen (3) und (4) erhält man daraus: 



j|_m f/„ (/, .r) - To) (?) (?-;^)"' 'p (£, x, n) d |j=/("0 (.r), 



so daß zum Beweise von (1) nur mehr zu zeigen ist, daß: 



(7) lim f'ü) (?) {i-xy tp {i, X, n) di = ist. 



« = °°Ja 



1 Die in dieser Bedingung auftretende Konstante M (beziehungsweise bei der Klasse gj die Konstante X) braucht keineswegs 

 für alle diese Intervalle dieselbe zu sein. 



