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H. Ha hn, 



Sei, um das nachzuweisen, s > beliebig gegeben. Es gibt wegen (ß) ein /«> 0, derart, daß: 



j(o(4)|<s in <x—h,x-{-h>. 



Wegen (2) ist dann: 



(8) 



nx+h 



/ CO (I) (I— ,r)"« ffi (?, X, n) di <:b-N für alle n. 



Jx-h 



Zufolge (5) gehört (4 — xy"-ia (?) zugleich mit/(^) zur Klasse g,-. Wegen Bedingung 1. und 2. hat man 

 daher, unter Berufung auf denjenigen der Sätze I bis IV, der sich auf die Klasse f^,- bezieht: 



lim C w (I) (|~.r)"' cp {h, x, n) di = 0; lim / w (|) {^-x)'" tp (|, .r, m) ^ ^ = 0, 



Jx+h 



und somit gibt es ein n^, so daß für n ^ «ig: 

 ■•1-— ;i 



(9) 



r 



(|)(^-;trr(p(^,,r,H)ü?^l < e; 



r,y>{i){i-xr^{i,x,ii)di 



Jx+h 



Die Ungleichungen (8) (9) zusammengenommen ergeben: 



f 



C0(^)(|-.i;)'XI, -V, 7Z)^a 



< (A^+ 2) • s für 11 ^ «0- 



und da s beliebig war, ist damit (7) und somit auch (1) bewiesen. 



Die Bedingungen sind notwendig: Wäre in der Tat 1. oder 2. für ein den Punkt x nicht enthalten- 

 des Teilintervall <: a, ß > von <:a,b> nicht erfüllt, so gäbe es, nach demjenigen der Sätze I bis IV, der 

 sich auf die Klasse g,- bezieht, in <: a, ß >> eine der Klasse g-,- angehörige Funktion g{i), für die nicht: 



lim r 



n = ooja 



g{i)<^{i,x,n)di = 



gilt. Definieren wir dann/(|) durch die Vorschrift: 



f{i)=g{i) in < a, ß >, /(l) = außerhalb < a, ß >, 

 so gehört/(6) auch in < ß, & > zur Klasse g,- und es ist/C") {x) = 0, während die Gleichung: 



lim /„ {f, x) (= lim [g ü) (p (5, x,n)di\z^ Ö 



K=oo \ « = ooJa j 



nicht gilt. 



Angenommen es sei Bedingung 3. nicht erfüllt. Dann gibt es. nach Satz V, eine m < a, b '>■ stetige 

 für t = -T verschwindende Funktion w (|), für die nicht: 



Um 



»= CO. 



L^{i){h-xy"'^{k,X,v)di = 



ist. Wir setzen: 



Dann besitzt/(^) im Punkte x eine m-te Ableitung und es ist: 



ß"'\x) = 0, 

 während die Gleichung: 



lim /„ (f, X) = 



11= oo 



nicht gilt. 



Bedingung 4. ergibt sich als notwendig, indem man für/(4) die Funktionen wählt: 



/(S) = (|-^)' ii = 0,\,...,m). 



