Darstelhmg gegebener Fiiuktioiien. 599 



Die Sätze VI und VII können ohne weiteres auf unendliche Intervalle ausgedehnt werden. Wir 

 setzen : 



J— oo 



bezeichnen, lür s > 0, mit -L (|, x, n, s) die Funktion von t, die in <. x — s, .v + = :> den Wert hat, sonst mit 

 tp (I, X, 11) übereinstimmt, und haben; 



VI a. »Damit für alle in (— oo, + oo) der Klasse ^i angehörigen Funktionen _/j die im gegebenen 

 Punkte X stetig sind, die Gleichung gelle: 



f(x) = lim Jnif, x), 



II = oo 



ist notwendig und hinreichend, daß 's (£, x, n) folgenden Bedingungen genügt: 



1. und 2. Für jedes s :> genügt der Kern -j» (^, .r, m, s) den Bedingungen 1. und 2. desjenigen der 

 Sätze ] a bis IV a, der sich auf die Klasse ^( bezieht. 



3. Zu jedem s > gibt es ein A^, so daß 



\'^ {i, x,n)\di<zN für alle n. 

 lim I 'S (h. 



4. Für jedes s > ist: 



X. n) (f| =1 1. 



\''lla. »Damit für alle in ( — oo, + ooj der Klasse 'J; angehörigen Funktionen, die im gegebenen 

 Punkte X von (a, b) endliche Ableitungen der ni ersten Ordnungen haben, die Gleichung gelte: 



/("')a-)= Um Jn{f,x), 



11= oo 



ist notwendig und hinreichend, daß tp (5, x,n) folgenden Bedingungen genügt: 

 1. und 2. wie in Satz VIö. 



3. Zu jedem s > gibt es ein N, so daß: 



I \{i — xy"'^{t,,x,n)\dt,<N für alle ;/. 



Jx — t 



4. Für jedes ; > ist: 



r'x+i 

 lim I (I - x)' 'f {i, ,v, n) di = (< = 0, 1 , . . . m - 1 ), 



/^X+t 



lim I (i~x)"''^{z, X, n) di 



m\ 



Zum Beweise von Via- und VII a hat man nur zu bemerken, daß wegen der Bedingungen 1. und 2. 

 nach dem in Betracht kommenden der Sätze I a bis IV a für jedes s > 0: 



lim h„ (f,x) - f'^Vri) ? (i X. n) di\ = lim / ^°°/"C?) 'i (i x, n, s) J6 = 



ist, wodurch die Betrachtung von lim J„ {f, x) auf die von 



« = 00 



lim / / (S) tp (i X, n) d « 

 " = 0° Jx-, 



zurückgeführt ist. Auf dieses Integral aber sind die Sätze VI und MI anwendbar. 



