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§ 4. Darstellung der verallgemeinerten Ableitungen. 



Das Resultat von § 3 läßt sich noch ein wenig verallgemeinern, wenn wir annehmen, daß der Kern 

 in einer Umgebung der Stelle x, etwa für \t\ ^k, einer der zwei Bedingungen genügt: 



(1) cp {x+f, X, n) = 'i; (.r-/, x, n), 



(2) ® {x+t, X, n) ^ — cp {x — t, X, n). 



Den Ausführungen von § 3 lag folgende Definition der jw-ten Ableitung einer Funktion zugrunde: 

 Sei _/"(#) eine in der Umgebung der Stelle ^i^ definierte Funktion, die in w^ Ableitungen der w— 1 

 ersten Ordnungen besitzt: 



Gibt es dann eine endliche Zahl a, so daß in einer Umgebung von u die Entwicklung gilt: 



m—l 



/(«)-/K) - y ^"T,"° V '^ (»0) = « (»-"0)'"+« {t^)'(u--u,r, 



8 = 1 



wo: 



ist, so wird: 



lim üi (ti) z= 



gesetzt und als die w-te Ableitung von/(H) an der Stelle Mq bezeichnet. 



Diese Definition wurde von Ch. J. de la Vallee-Poussin in folgender Weise verallgemeinert: ^ 

 Se\f{ii) eine in der Umgebung der Stelle 11^ definierte Funktion, und es gelte für alle hinlänglich 



kleinen |/| {d^Q) eine der beiden Entwicklungen: 



2 /-J (2j)! 



1=1 



m 



(4) /K+0 -/K-0 _ V ^ ^' 



2 i-j (2/ + 1)1 



0) (0 <2 



m+1 



worm: 



(5) lim 0) (/) = 



sei. Es heißen dann, wenn (3) gilt, die Koeffizienten a,- (« ;=: 0, 2, . . ., 2m)'^, und wenn (4) gilt, die 

 Koeffizienten a,- (z ^ 1, 3, ...,2m^+1) die verallgemeinerten Ableitungen i-ter Ordnung von 

 f(ti) an der Stelle ii^. ' 



Vergleicht man diese Definition mit der oben angeführten Definition der ?-ten Ableitungen, so 

 erkennt man sofort: wo die i-te Ableitung (/ > 0) von f(n) existiert, existiert auch die vei^allgemeinerte 

 i-te Ableitung und ist gleich der i-ten Ableitung. 



Wir werden die verallgemeinerte i-te Ableitung von f{u) mit/^'-' {u) bezeichnen. 



Wir haben dann folgende Sätze: 



1 Acad. Bruxelles, Bulletin, Classe des Sciences 1908, p. 214. 



2 Wie man siebt, ist eine »0-te Ableitung« von /an der Stelle Uq sicher vorhanden, wenn /dort einen rechts- und einen links- 

 seitigen Grenzwert /(/«u-t-O), beziehungsweise /(««q — 0) besitzt. Und zwar ist die 0-te Ableitung dann nichts anderes als das arith- 



1 

 metische Mittel — (/(''(j-l-O) -)-/(i(o— 0)) dieser beiden einseitigen Grenzwerte. 



