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VIII. Es genüge für ein gegebenes ,r von (a,b} und für alle |;| ^ Ä der Kern 'f (^, ;i-, m) der 

 Relation (1). Damit für alle der Klasse^,- angehörigen Funktionen, die im Punkte x eine 



verallgemeinerte Ableitung /<2'") (x) besitzen, die Gleichung gelte: 

 (6) >"')(;v)= lim /„ {f,x), 



11 = oo 



ist notwendig und hinreichend, daß noch folgende Bedingungen erfüllt seien: ' 

 1. und 2. Es sind die Bedingungen 1. und 2. von Satz VI erfüllt. 

 3. Es gibt eine Konstante N, so daß 



■•b 



f 



xJa 



(I — xf '" 'f (5, X, n) i dl.<:N für alle n . 



4. Es ist: 



(7) lim I (6 - ,r)' CD (g, x, ii)di — ii = 0,2 2 m - 2), 



" = °° Ja 



(8) lim f i^-xy-'" t? (i, X, n) dl, = {2m)\ 



Es genüge für ein gegebenes x von (a, b) und alle \t\ ^k der Kern cp (^, x, n) der Relation 

 (2). Damit für alle der Klasse ^y/ angehörigen Funktionen, die im Punkte x eine verall- 

 gemeinerte Ableitung_/^2'"+i^(.Y) besitzen, die Gleichung gelte: 



/(2'"+i)(^)= lim lAf,x), 

 {oa} 11 = 00 



ist notwendig und hinreichend, daß noch folgende Bedingungen erfüllt seien: 



1. und 2. Es sind die Bedingungen 1. und 2. von Satz VI erfüllt. 



3. Es gibt eine Konstante A*', so daß: 



Ja 



I {h - xf '"+1 tp (5, .V, /■/.) \cl%< N für alle «. 



Ja 



4. Es ist: 



-fr 

 (7 a ) lim 1 (^ - xf cp (i .r, n\ d g = ( •/ =: 1 , 3, . . . , 2 in - 1 1, 



(8 a) lim. f (^ - -i;) - '"+' 'f ("1, ^»^, n) r? I = ( 2 »/ + 1) ! 



Wir beweisen die erste Hälfte dieses Satzes. Es handelt sich nur darum, daß die Bedingungen 

 hinreichend sind; denn der Beweis, daß sie notwendig sind, ist derselbe wie in § 3. 



Um nachzuweisen, daß unter den gemachten Voraussetzungen Gleichung (6) besteht, schreiben wir: 



h (/> ^)= 1 f{i) ? (i -V, ») ^^ ^ + / /(^) 'f (5, .V, •» j ^/ i + I /(^) 'f (6, .V,. II ) d l 



Ja Jx\k Jx—k 



Da die Bedingungen 1. und 2. erfüllt sind, ist hierin, auf Grund desjenigen der Sätze I bis IV, der 

 sich auf die Klasse ^,- bezieht: 



■'x—k fb 



lim 



II ~ oo 



r f(i) cp (i A-, n) d i^O : lim / / (;) 'p (;, .v. u) d ^ = Ü . 



Ji. " = 0° Jx+k 



' Dies gilt auch lur /// = 0. Die Gleichungen (7) fallen dann weg, und in i8) stellt aul' der rechten Seite : 1. 

 Denkschriften der mathem-naturw. Klasse, 93. Band. 81 



