602 H. Halm, 



Um also (6) zu beweisen, haben wir nur nachzuweisen: 



(9) /(2"')(s:)=: lim f(i)'^{k,x,n)di. 



" = oo Jx-k 



Da aber für |/| -^k Beziehung (1) gilt, können wir schreiben: 



f{i)<f{i,x,n)d^= j {f{x+t)+f(x-t)}<f{x+t,x,n)dt. 



-k i/o 



Setzen wir hierin die Entwicklung (3) ein («„ = x), so haben wir weiter: 



/^x+k /^k ^ ^k 



\ / (^) tp Cg, X, ti) d^ = 2a„ I cc (x+t, x, n) dt + 2y — ^~ I t^' tp (x-ht, x, n) d t + 



Jx-k Jo ' ^ (2 i) ! Jo 



1=1 



^>^ 



(10) +2 I (0 (n f-'" cp (.r+)', .r, ?;) dt = a^, / 'f ih. .r, «Wa + V ^^ / ' {i-xf' 'd (l x, n) dl. + 



Jo ' Jx-k ' ^(2/)!J.T„7; 



/ =1 



Jf^x+k 

 0) (l—x) (I —xY'" cp Ca, X, ii) d t, 

 x—k 



wobei berücksichtigt ist, daß zufolge (3) to (/) eine gerade Funktion von t ist. 

 Nun ist, wegen der Sätze von § 1 : 



lim r (a-.ir)2'(p (a, x^ ,^) dl — O; lim / {l-xf't^{l, x, n) dl = (t = 0, 1,. . ., m), 

 also, wegen (7) und (8): 



J^x+k 

 (a-.r)-2''p(c, X. in dl = (1 = 0, 1, m-1) 



n — oo 



lim 



;/ — CO 



/ {l-xf' tp il, .V, H) dl = {2m) ! 



Jx—k 



Berücksichtigt man dies, sowie die Tatsache, daß a-i,,, =/>-'") (.r) ist, so sieht man aus (10), daß (9) 

 und damit auch (6) bewiesen sein wird, wenn: 



px + k 



lim / 10 (l-x) (l-^xf'" 'f {I, X, n) dl = 



»I = oo J^.__J. 



nachgewiesen sein wird. Dies aber beweist man, da (5) gilt, genau so, wie Gleichimg (7) in § 3, was nicht 

 noch einmal durchgeführt werde. 



Damit ist die erste Hälfte des ausgesprochenen Satzes bewiesen. Der Beweis dei- zweiten Hälfte ist 

 analog, nur hat man sich, statt auf (1) und (3), auf (2) und (4) zu stützen. 



VIII ^. >Man erhält aus Satz VIII einen für das Intervall ( — oo, + oo) gültigen Satz, indem man in 

 Bedingung 1. und 2. von Satz VIII statt »Satz VI« setzt: »Satz VI a<' und in Bedingung 3. und 4. von 

 Satz VIII die li^tegrationsgrenzen a und b ersetzt durch .v— s und x + s (s > 0).« 



§ 5. Bedingungen für gleichmäßige Konvergenz. 



Wir wollen nun Bedingungen dafür aufstellen, daß die Konvergenz von /„ (f, x) gegen /<"') (;»;) eine 

 gleichmäßige sei. 



Es hänge in den Sätzen von § 1 die Funktion 'p (<;, n) noch ab von einem Parameter a und werde 

 deshalb geschrieben s (I, a, n). Und zwar sei 'p für alle einer Menge ■?( angehörigen Werte des Parameters 

 a als in < a, & > meßbare Funktion von I gegeben. Wir setzen: 



I„(f,a.)=rf(l),f(l,a,n)dl. 



