DarxteUuiig gegebener Funktionen. 603 



IX. Damit f ü r j e d e F u n k t i o n / d e r Klasse g,- die Beziehung: 



(0) lim l„(f,^) = 



11 = 00 



gleichmäßig für alle a von 3( gelte, ist notwendig und hinreichend, daß -s folgenden 

 Bedingungen genügt: ^ 



1 a. Für jedes einzelne a genügt 'f der Bedingung 1. desjenigen der .Sätze Ibis IV. der 

 sich auf die Klasse g,- bezieht. - 



1 b. Für die Klasse ^i • Es gibt einen Index //,, und eine Konstante M, so daß, abgesehen von Null- 

 mengen: 



\(f (I, a, n)\ <: M für alle 5 von < a, b^>. alle n'^ iig und alle a von 9(. 

 Für die Klasse go^ Es gibt einen Index n^ und eine Konstante M, so daß: 



b 



(cc (4, a, ;/.))- i/| < M für alle ;/ ^ n^ und alle a von ?(. 



Für die Klasse gj: Zu jedem ;j. > gehört ein X > und ein Index n^, so daß für jede Menge /sich 

 nicht überdeckender Teilintervalle von < a, b>', deren Gesamtlänge < X ist, für aUeit'^ng und alle 

 a von 21: 



X' 



cp (^, a, 7^)1 ü?|<(j,. 



Für die Klasse g^: Es gibt einen Index n^^ und eine Konstante M, so daß: 



|{p (^, a, n)\ t/i; <: M für alle 11 ^ »/,„ und alle a von 3(. 





2. Fürjedes Teilintervall < a, ß>- von < a, b z=' gilt die B&ziehung: 



a, n) di =zO 



lim I tp (a, 



" = 00 Ja 



gleichmäßig für alle a von 51. 



Die Bedingungen sind notwendig. Dies ist trivial für 1 a und 2. Wäre I b nicht erfüllt, so gäbe es 



eine Folge von zu 9( gehörigen Werten a,- und von Indizes Uj mit lim «,• =: <», so daß für (p (|, /) =^ '.p (|, a,-, n,-) 



/ — 00 



Bedingung 1. des in Frage kommenden der .Sätze I bis I\^ nicht erfüllt wäre. Es gäbe also in %, eine 

 Funktion/ für die nicht 



-b 



lim I /(i)!p(?, /') äi = 





wäre, so daß für dieses/ Beziehung (0) nicht gleichmäßig für alle a von IH gelten würde. 



Die Bedingungen sind hinreichend. Denn sind sie erfüllt, so genügt für jede Folge a, aus i'l und 

 jede Indizesfolge «,• mit lim ;;, = 00 die Funktion f (5, t) = tp (|, a,-, ;/,•) den Bedingungen 1. und 2. des in 



Frage kommenden der Sätze I bis 1\', so daß (für alle solchen Folgen a, und ;/,): lim 7,,^. (/ a,) := ist. 



was gleichbedeutend ist mit der gleichmäßigen Konvergenz \on (0). 



1 Vgl. H. Lebesgue, 11. a. O., p. 68. 



2 Dabei kann die in dieser Bedingung auttretende Konstante M (beziehungsweise, bei der Klasse gj, die Konstante ).) noch 

 von a. abhängen. 



