604 H. Hahn, 



Sei wie bisher der Kern tp {i, x, n) für jedes x von {a, b) als eine in < a, b > integrierbare Funktion 

 von ^ gegeben. Sei s irgend eine positive Zahl. Wir leiten, wie schon einmal, aus dem Kerne tp (|, x, n) 

 einen Kern (j) (|, x, n, z) her durch folgende Vorschrift: 



, ,, fO in <x-z, A- + s> 



\ tp (I, X, n) in <: a, Zi >- außerhalb < ^ — s, ;tr+£ >-. 



Dann gilt folgender Satz: ^ 



X. Für den Kern ^ {i,x, n) seien die nachstehenden Bedingungen erfüllt; 



1. und 2. Für jedes gegebene s > genügt der dem Kerne tp (i,^;ir, m) zugeordnete Kern 

 t}) (I, X, n, e) im Intervalle < a, & > den Bedingungen \ a, \b,2. des Satzes IX für die Klasse ^^w 

 wenn unter a die Veränderliche ;v, unter 31 ein Teilintervall < a', ^ > von {a,b^ verstanden' 

 wird. 



3. Zujedem(hinlängiichkleinen)s>OgehörteinA^, sodaß; 



£ 



|(p (6, ;i;, m)| di < N für alle n und alle x von < ö', b' >-. 

 4. Für jedes (hinlänglich kleine) s > gilt die Beziehung: 



lim I tp (i;, AT, m) J| rr 1 

 " = ooJ.v-E 



gleichmäßig für alle x von <: a', &' :>. 



Dann gilt für jede der Klasse ^-,- an gehörige Funktion/, die in jedem Punkte von <a',b'> 

 stetig isf^, die Beziehung: 



f{x) z^lim I„{f,^) 



gleichmäßig für alle x von <ca', b' >. 



Wir geben ein vj > beliebig vor, und zeigen zunächst: es gibt ein s > 0, so daß: 



\f{^)—fix)\ <:*/] für alle x von < a', b' >■ und alle 5 von <: x—z, x+s >. 



In der Tat, da/ stetig ist in < a', b' >, gibt es, zufolge des Satzes von der gleichmäßigen Stetigkeit, 

 ein Ej > 0, so daß: 



i/(?)-/WI<^ 



für alle x von < a', b' >> und alle gleichfalls zu <: a', b' >» gehörigen ? von <: x — e^, x + e^ >-. 



Da aber/ auch stetig ist in a' und in b', so gibt es ein s.-, :> 0, so daß: 



|/(i)— /(«Ol < — für alle ;; von <.a'—s.,, a' + 8., >, 

 \f(i)-f{b')\ <^für alle i; von < Z^'-e.,, &' + s.^ >, 



und somit: 



I f{^)—f{x)\ 'cz-q für alle x von < a', a'+s.,> und alle t, von <:«.' — s.,, a' >, 



I /(O— /(-i;)| <: Vj für alle x von -< b' — s.,, b' >■ und alle 4 von < b', b'+s^ >-. 



Wie man sieht, hat man für das £ unserer Behauptung lediglich die kleinere der beiden Größen Sj 

 und So zu nehmen, und diese Behauptung ist bewiesen. 



1 Vgl. H. Lebesgue, a. a. O., p. 73. 



3 Es muß also /auch in «' und h' stetig (nicln etwas bloß rechtsseitig, beziehungsweise linksseitig stetig) sein. 



