Darstellung gegebener Funktionen. 



605 



Sei also zum vorgegebenen tj das s in dieser Weise bestimmt. Wir wählen es obendrein so klein, 

 daß < a' — s, &'+£>> in <: a, ^ > liegt. Da der mit diesem s gebildete Kern 'i (^, ,r, n, z) in <c a, & :> den 

 Voraussetzungen von Satz IX genügt, ^ so sehen wir: es gibt ein «„, so daß: 



rb ! 



I / (^) 4* Ä ^) ^^'^ s) t/ 1 < rj für ;; ^ ;/g und alle x von <: a', ^' > . 



Ja 



Nun kann geschrieben werden: 



(1) 



I» if, X) 



Jx—i Jx- 



's,{h,x,n) di+ (f{i)-J{x)) 'f {i, x,n) d^ + /(4) -^ (1, -r, n, s) ^i 



Weil/(,r) in <: a', h' ■>, zufolge der Stetigkeit, geschränkt ist, kann, nach Bedingung 4. n^ auch so 



groß gewählt werden, daß: 



\f{x)r'\{S,x,n)dh~f{x) 



\ Jx~B 



: 7j für n ^ «„ und alle x von < a', b' >-. 



Wegen Bedingung 3. und unserer Wahl von s haben wir weiter: 



XX+ 

 -5 



(/©-/W)?^-^,«)^^ 



<T|'iV für alle n und alle x von <a', b' : 



und die beiden letzten Ungleichungen, zusammen mit (1; ergeben sofort: 



Uk (/> x)—f(x)\ <(2+N)--fi für alle n ^ «^ und alle x von < a', ^'' >. 



Da 7j beliebig war, ist damit Satz X bewiesen. 



XI. Für den Kern ^ (6, x, n) seien die nachstehenden Bedingungen erfüllt: 



1. und 2. Der dem Kerne 'f (?, ;v, «.) zugeordnete Kern <\ (|, .r, ;«, s) genügt den Bedingungen 

 1. und 2. von Satz X. 



3. Zu jedem (hinlänglich kleinen) s :> gehört ein N, so daß: 



£ 



\{i — x)"' 'f (£, X, n)\ di <. N für alle n und alle x von < a', b' >. 



4. Für jedes (hinlänglich kleine) s>>0 gelten die Beziehungen: 



lim I {h-xY 'f (?, X, n) di = 0; (« = 0, 1,. . ., ;»— 1) 



K=00 J;^_, 



1 (?— -r)'" !p (?, :ir, n) di = m ! 



lim 



gleichmäßig für alle x von < a', ^' >-. 



Dann gilt für jede der Klasse ^i angehörige Funktion/, die im Teilintervall <: a', Z/ 

 von (ö, Z;) m-ma.\ stetig differenzierbar'' ist, die Beziehung: 



-b 



ß"')(x)= lim ff{i)^(i,x,n)di 



» = °°Ja 



gleichmäßig für alle x von <:a', b' :>. 



1 Dabei ist unter a die Veränderliche x, unter '2t das Intervall < a', b' > zu verstehen. 



-' Die Funktion /heißt «t-mal stetig differenzieibar in < a, ß >, wenn in jedem Punkte x von < a, ? > die i;i-te Ableitung 

 /■('») (A-) existiert, und/("0 {x) in jedem Punkte von (a, ß) stetig, in a rechtsseitig, in ß linksseitig stetig ist. 



