606 H. Hahn, 



Wir setzen zum Beweise, ^ wenn x ein Wert von <: a', b' >- ist: 



i?,„ (I, X) = f (X) + y ^ LfOn) (^) 



und: 



Wir behaupten; ist -^ :> beliebig gegeben, so gibt es ein s :> 0, so daß: 



(2) |to (^, x)\ <:tj für alle *' von < a', b' > und alle i von < .r— e, a;+c >. 

 Liegt nicht nur x, sondern auch 4 in <: a', b' >-, so haben wir: 



CO (i x) =: -^ l/C") (x+d' (|-,^')) -/('") (a;) } (0 < ^ < 1). 

 m ! 



Weil aber/('") (^) als in < d', b' :> stetig vorausgesetzt wurde, gibt es ein s^ > 0, so daß: 



\f("'Ux-')~f("')(x)\ <-fi 



für alle x und x' von <: a', ib' >, für die \x—x'\ ^ s^. Wir haben also bereits; 



|co(|, .r)|<-^ 



für alle x von < ö', b' > und alle gleichfalls zu < a', b' > gehörigen £ von < -r — e^, x+s^ >. 

 Da/(^) in a' und in b' eine m-te Ableitung hat, so gibt es ein s^ > 0, so daß: 



(3) |o) (i,a')\ < — für alle | von < a'-B„, a'+s., >, 

 (3') |w (I, b')\ < -^ für alle ? von < &' — Sj, ö'+e, >. 



dl 



Wir zeigen weiter, daß es ein Sj >- gibt, so daß: 

 (3a) \R,n{%x)-R,,,{i,c,!)\<'^{x-i)^ 



dt 



für alle s von <:«' — Sg, a' >• und alle x von < a', a'+Sg >-; und ebenso: 

 ^3'a) |i?,„(|,.T)-i?,„ri&')l<y(?-i^)"' 



für alle i von <: V , b' + z^-> und alle a; von <: ^'— Sg, ^' :>. 



Sei in der Tat g{^ die Funktion, die in •< a' , Z/>- übereinstimmt mit/(|), in <: a, a'>- mit i?,„ (|, «')> 

 und in '<:b',b >■ mit i?,„ (fe, ö'). Dann ist ^(i;) in ganz ■< a, b >■ «-mal stetig differenzierbar, so daß wir 

 nun für jedes x von <: a', b' :> und jedes :; von <: a, b >- haben: 



g (4) - R,n {k, X) = ^^ ■' C^C") (A.- + * (^ - X)) -g ("0 {X)) (0 < d < 1 ). 



in 



Weil ^("') in ganz <:«,&:> stetig ist, gibt es ein s^^ > 0, so daß; 



\g("t){x')-^^^i)(x)\ <-^ 

 4 



1 Der Beweis wird viel einfacher, wenn man sich darauf beschränkt zu beweisen, daß die Konvergenz von /»t (/, «; gegen 

 /("O {x] gleiclimäßig ist in j ed em Teilintervalle < ö", b" > von («', ?''), 



