Darstellung gegebener Funktionen. 607 



für alle .rund.r' von <: a, & >>, für die \x—x'\ ^ e^ ist. — Wir setzen s, =r — . Liegt dann,r in<: a', a! -^z{> 

 und k in <; ß' — £g, a'>-, so haben wir: 



4 



4 

 woraus sich ergibt: 



|i?,„(|,.r)-i?,„(6,a')|<^(.r-6r. 



Damit ist (3 d) bewiesen, und ebenso beweist man (3'fl). 



Liegt nun wieder ,r in <: a', a' + Sg :>> und :; sowohl in <; a'— s.,, a' :> als in <: ö' — Sg, a' >-, so 

 gelten fS) und (3 a) gleichzeitig und wir haben, wenn Ö- eine Zahl zwischen — 1 und 1 bezeichnet: 



owa,.) = -^-fc^^^i^^ = — ^ = .(a,.'). 1^^ ^t^.^ 



{i-xy (4-^)'" ■ (i--r)'" 2 



und somit, wegen (3): 



|w(|, ,r)j < Yj. 



Ebenso beweist man die Gültigkeit dieser Ungleichung, wenn .v in <: b'—z.^, &' >- und £ sowohl in 

 < b', b' + £,:>■ als in < ^-'j &' + Sg > liegt. 



Diese Ungleichung ist also jetzt bewiesen: 



1. Wenn x in <: a', b' >- und ; sowohl in <: a', ^' > als auch in <: x — b^^, x + Sj >; 2. wenn .r in 

 <: a', a'+ =3 >- und ; sowohl in <: a' — s.,, a' >> als in <: a' — i^, a' >-; 3. wenn x in < ^' — S3, ^' >- und 5 

 sowohl in <r &', ft' + £.,>> als in -< ^', ^' + £3 >- liegt. Versteht man also unter ; die kleinste der drei 

 Zahlen Sj, s.,, Sg, so gilt die Ungleichung für alle x von <: a, Z' :> und alle i von <r x—z. x + s :>: das aber 

 war die Behauptung (2). 



Wir bilden nun mit diesem t den Kern -!) ('|, .r, h, 31 und sehen wieder durch Berufung auf Satz IX: 

 es gibt einen Index «„, so daß: 



i4^ I 1 /(■?) '1 (I. .r. «, s) (/§! <: Tj für alle ;/ ^ ;/j, und alle ;r von <: tr' Z/ >.. 



Für jedes x von ^c a', b' > und jedes ; von <: o' — j, Z'' + s >> gilt die Entwicklung: 



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 W'ir haben also: • 



Jx—i Jx—s 



x^ f w (x) r-'i'+s r'+= 



\ - — ^^ (4--r)' ':; (?, X, n) J- + (« (5, .r) («--.r)"' 'i (?, .v, n) di. 



Wegen Bedingung 4. kann »„ so groß gewählt werden, daß: 



(6^ 



(x) 1 '^"'.p (i .r. u) di + y IlM^ r*\i-xY'^ (i X, u) di[- /('") (x) 



<.fi 



für H ^ Hq und alle a.- von -< a', &' : 



