608 H. Hahn, 



Wegen (2) und Bedingung 3. haben wir: 



(7) 



0) {i, x) (4-.V)'» 'J3 {i, X, n) ^q <: Tj.yV 



für alle n und alle x von -< a', b' :>. 



Wir haben also aus (5), (6) und (7): 



(8) 



f{k)w{i,x,n)di-f^-'){x) 



<-fl{\+N) 



für alle n ^ ii^ und alle x von <: ß', Z;' 



Beachten wir endlich noch, daß: 



/(l) 4 (^, .r, ?i, s) di = T' /(4) tp (?, -r, «) ^1 + f V(0 ? (a, --^-, «) dk, 



Ja 



/x+s 



SO sehen wir, daß aus (4) und (8) folgt: 



\In{f,x)-p'Hx)\<-fi{2 + N) 

 für alle n ^ ?1q und alle x von <: a', &' >-. Da aber tj beliebig war, so ist damit Satz XI bewiesen. 



Die Übertragung der Sätze X und XI auf unendliche Intervalle bietet keine Schwierigkeit. Zunächst 

 tritt an Stelle von Satz IX folgender Satz: 



IX a. »Damit für jede Funktion /von %i die Beziehung: 



lim 



n = CO 



f(i)'^{i,a,n)di = 



,/ — oo 



gleichmäßig für alle a von 2t gelte, ist notwendig und hinreichend, daß (s folgenden Bedingungen genügt: 



la. Für jedes einzelne a von 9t genügt tp der Bedingung 1. desjenigen der Sätze la bis IV a, der 

 sich auf die Klasse g-j bezieht. 



1 b. Für die Klasse g^: Es gibt einen Index ii^ und eine Konstante M, so daß, abgesehen von Null- 

 mengen: 



|tp {i, a., n)\ < M für alle ^, alle n ^ ■«(, und alle a von 2t. 



Für die Klasse g.^: Es gibt einen Index n^ und eine Konstante M, so daß: 



X+oo 

 (rp {i, a, n)y di < M für alle n ^ m^ und alle a von 2(. 

 oo 



Für die Klasse %^: Zu jedem (a>»0 gehört ein a >- und ein Index «g, so daß für jede Menge I sich 

 nicht überdeckender Intervalle, deren Gesamtlänge <:X ist, für alle% ^ 7;^ und alle a von 2t: 



/ |(p(6, a, m)| di < II.; 

 und zu jedem [ji >- gehört ein A und ein Index n^, so daß: 



X— ^ /^+oo 



l'p (1, a, m)| di < II.; l j'f (5, a, n)\ di < [i. für alle n ^ ??.„ und alle a von 2t. 

 oo Ja 



Für die Klasse f^.i^ Es gibt einen Index •«(, und eine Konstante M, so daß: 



|(f (;;, a, m)| di ■<. M für alle ;/. ^ w„ und alle a von 2t. 





