Darstellung gegebener Funktionen. 609 



2. Für jedes endliche Intervall -< a, [i :> gilt die Beziehung: 



lim 1 tp Ci a, m) ,i| = 



gleichmäßig für alle a von 2t. Im Falle der Klasse ^^4 g'lt dies auch für die Beziehungen: 



r'f) r'+ oo 



lim I cp (^, a, n) J^ =r 0; lim I s (s, a, «) '^^ = '^•« 



''^ooj-oo' '' = oo./ii 



unter Berufung auf diesen Satz IX a erkennt man dann sofort die Richtigkeit der beiden Sätze: 

 Xa. »Für den Kern rp (|, x, n) seien die nachstehenden Bedingungen erfüllt: 



1. und '2.. Für jedes s >- genügt der dem Kerne 'f (?, x, n) zugeordnete Kern 'b (|, x, n,s) den Bedin- 

 gungen 1 a, 1 b und 2. von Satz IX« für die Klasse J^,-, wenn unter c die Veränderliche .r, unter Üi das 

 Intervall < a', b' :>- verstanden wird. 



3. und 4. Es ist Bedingung 3. und 4. von Satz X erfüllt. 



Dann gilt für jede der Klasse ^,- angehörige Funktion/ die in jedem Punkte von <: a', ??'>- stetig 

 ist, die Beziehung: 



X+oo 

 f{i) cp (i, X, u) dh 

 oo 



gleichmäßig für alle x von < a', b' 5^.< 



XI a. »Genügt der Kern cp (^, x, u) den Bedingungen 1". und 2. von Satz X a und den Bedingungen 3. 

 und 4. von Satz XI, so gilt für jede der Klasse ^^t angehörige F'unktiony^ die in -< a', b' ->- m-mal stetig 

 differenzierbar ist, die Beziehung: 



r'+co 

 /("') (x) = lim I f{i)'z (6, ;i-, h) dl 



II = CO J__^ 



gleichmäßig für alle x von <: a', if?' :>.« 



§ 6. Darstellung von f{x) in gewissen Unstetigkeitspunkten. 



Ein einfaches KoroUar \on Satz VII ist folgende, \'on H. Lebesgue direkt bewiesene Tatsache,' 

 die, unter spezielleren Voraussetzungen über den Kern 'p (ß, x, n), eine wesentliche \'erschärfung von 

 Satz \T enthält: Sei .r ein fest gegebener Punkt von (a, b); dann gilt der Satz: 



XII. Der Kern o {l, x, n) sei (als Funktion von I betrachtet) absolut stetig in einer 



Umgebung <: x — h. x + h >- des Punktes x \-on (a, b), in der außei-deni für jedes ;^.v die 



Beziehung gelte: 



(V) lim 'p {i, .1-, n) =: U. 



■11 — oo 



Ferner genüge der Kern 's (i. x, ii) noch folgenden Bedingungen: 



1. und 2. Es genügt 'p (|, .r, »i den Bedingungen 1. und 2. von Satz VI. 



3. Z u j e d e m hinlänglich kleinen /; >- gibt es ein A', so daß: 



■ x-i-h 

 Ix-h 



£ 



(t ~ x) • — (c (L X, n)\ di<: N für alle n. 



4. Es ist: 



lim 1 'f (5, .r, n) di z^ 1. 



1 A. a. O. p. SO. 



Denkschriften der mathem.-n.iturw. Klasse, 93. Band. S2 



