610 H. Hahn. 



Dann gilt für jede der Klasse (^7 angehörige Funktion/, die im Punkte .v die erste 

 Ableitung ihres unbestimmten Integrales ist, die Gleichung: 



(2) fix)= lim IAf,x). 



11 = 00 



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Wir schicken die Bemerkung voraus, daß die in Bedingung o. auttretende Ableitung — cp (s, ,r, w) 



in einer Umgebung <: .r — 7f, a; + 7« >- von x überall, abgesehen von einer Nullmenge, als endliche Zahl 

 existiert; dies folgt, nach einem bekannten Satze, daraus, daß/ in einer solchen Umgebung als absolut 

 stetig vorausgesetzt wurde. 



Die Bedeutung des zu beweisenden Satzes liegt darin, daß, wenn seine Bedingungen in allen 

 Punkten x von (a, b) erfüllt sind, die Gleichung /('.r') ^ lim /„ (/ x) für jede Funktion /von ^-j- überall in 



H = 00 



(a, h) gilt, abgesehen von einer Nullmenge, denn es ist jede Funktion von ^v überall, abgesehen von einer 

 Nullmenge, Ableitung ihres unbestimmten Integrales. 



Um nun Satz XII aus Satz VII herzuleiten, setzen wir: 



/;(i,= p/(0^//. 



Wir wählen ein k (>- 0) so klein, daß in <: ,r — k, x + /<; > die über tp gemachten Voraussetzungen 

 gelten und insbesondere auch Bedingung 3. angewendet werden kann. 



Durch partielle Integration, die wegen der absoluten Stetigkeit \'on 'p angewendet werden darf, 

 erhalten wir: 



r^^ f(i) -f (i. X. u) di = F, (i) 'f ii X, 11) 



x-k Jx-I; 



pxu- a 



Ix-,. sr 



fx+l.- j 



f (ß) 'i i.^, X, n) dA 



Jx-k ) 



x+k 



= 0. 



.V--;.- 



Nun ist, wegen Bedingung 1. und 2.: 



lim }l„ (/ X) - \ f (l) rp (I, X, 11) di) = . 



;j = 00 y 



Ferner ist, wegen (1): 



lim i-; (i) 'S {i, X, u) 

 11 = 00 , 



Es wird also, um (2) nachzuweisen, genügen zu zeigen, daß:_ 



(2a) lim / '^'f, a) I - ^ cp a, X, n)\ di =f(x) 



11 = 00 Jx-i- l 8s j 



ist. Da wir voraussetzen, daß im Punkte .v die Funktion _/ Ableitung ihres unbestimmten Integrales sei, 

 das heißt, daß; 



fix) = F[{x) 



sei, da weiter iT^ (|) stetig ist und mithin zur Klasse ^-^ gehört, so wird (2 a) bewiesen sein, wenn wir 

 zeigen^ daß der Kern: 



<J> {i, X, n) = cp (i;, X, M) 



8^ 



im Intervalle < x — k, x + k:> allen Voraussetzungen von Satz VII für die Klasse g^ und für m ■=. 1 

 genügt. 



