DarsteUnng gegebener Funktionen. 



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Bedingung 2. von VII ist erfüllt wegen: 



(3) 



35 



■s (i, X, n) £^? = cp (I, X, n) 



und wegen (1). — Bedingung 3. \ on V'II (für das Intervall <: .r — ^, ,v +/> >-) ist identisch mit unserer 

 Bedingung 3. — Um nachzuweisen, daß Bedingung 1. von VII erfüllt ist, sei <: a, ß >- ein beliebiges, den 

 Punkt X nicht enthaltendes Teiiintervall \on <c:.r — Ä', x + Ä'>>. Es liege etwa in (.v, .v + k). Wir haben zu 

 zeigen, daß es ein M gibt, so daß: 



(4) 



di <: AI für alle n. 



Schreiben wir: 



so haben wir 



und somit nach Bedingung 3. 



8 1 f 8 1 



— 'f (i X, n) = ^ >(|-^^) rp (I, .r, m)> 



Sfe ^ — AT ( 3§ j 



ft ' 1 /^3 



— cp (i, X, n)\d i ^ / \{i 



3| 1 



j: 



cp ii,x,n)\ di 



81 



A' 



a — X 



womit (4) erwiesen ist. 



Was endlich Bedingung 4. von Satz VII anlangt, so sind die beiden Gleichungen zu beweisen: 



um 



Ja--ä- 8 c 



lim / (i-x) (s (4, X, n) dh = — 1 . 



' jx^k 



81 



Die erste folgt wegen fli unmittelbar aus (3), angewendet auf <: a; — *. ;i; -f- ^r>: die zweite folgt 

 vermöge ; 



rx+k 

 _ .. -k 



'p (i X, n) di = (S — -vj tp (I, -V, «,) 



' a;+* 



rx+k g 



— / (^ — -^') —^ 'p (?, -V. «) di 



unter Berücksichtigung \"on (1) immittelbar aus unseren Bedingungen 2. und 4. 



Damit ist Satz XII nachgewiesen. Es sei. ohne Beweis, noch Folgendes bemerkt: Hält man an den 

 \'oraussetzungen von Satz XII, mit Ausnahme von Bedingung 3., fest, so ist, damit (2) für alle Funktionen 

 \'on 5i gelte, die im Punkte .v Ableitungen ihres unbestimmten Integrales sind, notwendig, daß die 

 Bedingung erfüllt sei: 



3 a. Zu jedem hinlänglich kleinen h > gibt es ein A', so daß 



-^ 8 



' 8S ■ 



r 



für alle n und alle Teilinter\alle -< a, ß >- von <:x—h, x + /o. 



Satz XII läßt sich sofort noch etwas verallgemeinern: 



XIII. Gelten alle Voraussetzungen und Bedingungen von Satz XII und isi noch für alle 

 hinlän. glich kleinen \t\ die Beziehung 

 (5) '5 (x+t, .r, 11) = 'p (x — t, X, h) 



erfüllt, so gilt (2) für jede Funktion/ die im Punkte .v verallgemeinerte erste Ableitung 

 ihres unbestimmten Integrales ist. 



