612 H. Halm, 



In der Tat, aus (5) folgt: 



-TT ? (*•+ '' '^^ ^'0 = - — ? (-'^'- /> X, «)> 



so daß statt Satz VII Satz VIII verwendet werden kann. 



Die Bedingung, daß/ verallgemeinerte erste Ableitung seines unbestimmten Integrales sei, kann 

 noch etwas umgeformt werden. Es ist nämlich nach §4 die verallgemeinerte erste Ableitung von F(|) 

 im Punlvte x nichts anderes als die erste Ableitung nach t für / ^ von 



F(x+t)-- F{x-t) 

 2~ 



Ist F^ (s) unbestimmtes Integral von/(§), so wird: 



F^(x+t) — F^(x — f)= 1 f{x+u)du= l (f{x+u)-h-f{x — u))du. 



Es wird also/(^) im Punl<te .v verallgemeinerte erste Ableitung seines unbestimmten Integrales 

 sein, wenn: 



1 C 



lim I f{x+ii)dii.=zf{x) 



/=o 2t J^f 



D 2t J_f 



ist, oder, noch anders formuliert, wenn; 



1 r' 



lim — / (f (x+t) +f {x-t)-2f(x)) dt = 



1 = t Jo 



ist. In dieser letzteren Form findet sich die Bedingung bei H. Lebesgue. 



§ 7. Darstellung von/(:^) in allgemeineren Unstetigkeitspunkten. 



Die Sätze XII und XIII sind die einfachsten in einer Kette analoger, immer schärferer Sätze, die 

 nun ausgesprochen und bewiesen werden sollen: 



XIV. Der Kern tp (^, .-tr, «.) besitze in einer Umgebung <: x — h, x + hz>- des Punktes a' von 



gm-l 



(ö, &) eine absolut stetige («/.— 1 )-te Ableitung' '^ (t„ x, 11), und es gelten in dieser Um- 



gebung für t::^ x die Beziehungen: 



8' 



(1) lim tp {i, X, n) — 0, Hm cp (i, x, n) = (/ = 1, 2 . . . , m — 1 ) . 



IJ = 00 H = 00 8 1' 



Ferner genüge der Kern tp (i, x, n) noch folgenden Bedingungen: 

 1. und 2. Es genügt cp {i, x, n) den Bedingungen 1. und 2. von Satz VI. 

 3. Zu jedem hinlänglich kleinen // >> gibt es ein N, so daß: 



rx+h 7\"' ' 



Jx—h 



4. Es ist: 



(i - X)'" tp {i, X, n) 



V ' 8f'"' ' ^ ' 



di -< N für alle ;;. 



lim 1 tp (4, X, n) di= l. 



im 

 1 Daraus folgt, daß to (|, ar, «) in < a: — A, x -t- Ä > überall, abgesehen von einer Nullmenge, als endliche Zahl existiert. 



