DarsteUnng gegebener Funktionen. 



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Dann gilt für jede der Klasse g, ange hörige Funktion/ die im Punkte x m-te Ableitung 

 ihres w-fach iterierten unbestimmten Integrales ist, die Gleichung: 



(2) 



f(x)=: lim In(f,x). 



11 = CO 



Dabei ist unter dem w-fach iterierten unbestimmten Integrale von / die Funktion F,n verstanden, die 

 definiert ist durch: 



F, (0 = fy (/) di; Fm (?) = fV, (t) dt . 



Ja Ja 



Zum Beweise von Satz XIV wählen wir nun ein k (>- 0) so klein, daß in der Umgebung 

 <: X — k, X + k :> von x alle über tp (|, x, n) gemachten Voraussetzungen gelten, insbesondere auch 

 Bedingung 3. angewendet werden kann. 



Durch 7«-malige partielle Integration (was wegen der absoluten Stetigkeit von — und der daraus 



8''cp 

 folgenden absoluten Stetigkeit von ^{i <:m — l) und von © zulässig ist) erhalten wir: 



8?' 



/ -/ 



Jx~k 



f(i) w (4 X, u) di = F, Ü) cp (i, X, n) 



x+k 



x-k 



m — l 



d' 



+ )' (-l)'F,>i(?)-^?(4,.r,«) 

 1 = 1 



x+k 



x—k 



r'x+k 3'" 



Ix-k 5 



Wegen (1) verschwinden beim Grenzübergange die rechts außerhalb des Integralzeichens stehenden 

 GHeder. Wegen der Bedingungen 1. und 2. haben wir: 



lim / / /(i) 'f (c, X. n) di - r* /(<;) 's ii, x, n) dh\ = 



{i)'f{i,x,n)di- 

 Es wird also, um (2) nachzuweisen, genügen zu zeigen, daß: 



(2 a) lim PV,,, (S) (( - 1)'" ^ ? ii X, n)\ dh =f{x) 



ist. Da wir voraussetzen, daß im Punkte x die P'unktion/die w-te Ableitung von F,,, sei, da weiter F,n zur 



3"' 

 Klasse ^4 gehört, so wird (2 a) bewiesen sein, wenn wir zeigen, daß der Kern ( — 1)'" 'f (?, x, n) im 



Intervalle <: x—k, x + k '>- allen Voraussetzungen von Satz VII für die Klasse g-^ genügt. 

 Für Bedingung 2. von VII folgt dies wieder unmittelbar aus (1) und der Relation: 



a 8S 



8'" 8'"-i 



tp (?, X, ii) di= tp (t, X, n) 



a|»«-i 



Bedingung 3. von VII (für das Intervall < x — k, x+k >) ist identisch mit unserer Bedingung 3. Für 

 Bedingung 1. von VII wird es ganz analog wie in § 6 aus unserer Bedingung 3. hergeleitet. Was endlich 

 Bedingung 4. von VII anlangt, so sind die Gleichungen zu beweisen: 



Xx+k g'" 

 (i - ;.:)'• ~ tp (I, X, n) di = (i = 0,\,. . .,m-\), 

 -k 8 ?"' 



rx+k 3»' 



« = oo Jx-k P « 



