x—k 



1 x+k 



X — k 



614 - H. Hahn, 



Sie folgen vermöge der Gleichungen (1) und unserer Bedingungen 2. und 4. aus der für i<.m 

 gültigen Formel: ^ 



(^ - *)' Ti^ '-p ^^' -^'' ^') '^^ = y (- 1)' '■ ('■- ^) • • • ('■-'' + 1) (^ - -■^)'~'' ^7 — 7 ? (^' ^' ^0 



J- = 



und der Formel: 



/// — 1 



Xx-¥k ^m g,„_,-_i 

 (i - ,r)"' cp (I, X, n) di= \ (-1)'' m (m-l) . . . (m-r+ 1) (^ - x)'"-'- w (L x, n) 



)- = 



l^x+k 



+ (-iy".ml ^{i,x,ii)d^. 



Jx—k 



Unser Satz ist damit bewiesen. 



Auch hier können wir ihn sofort noch etwas verallgemeinern: 



XV. Gilt, außer den Voraussetzungen und Bedingungen von Satz XIV noch für alle 

 hinlänglich kleinen |i!| die Beziehung: 

 (3) cp {x+f, X, n) ■= 'S (x — t, X, n), 



so gilt (2) für jede Funktion/ die im Punkte ,r verallgemeinerte ;«-te Ableitung ihres m-fach 

 iterierten unbestimmten Integrales ist. 

 In der Tat haben wir aus (3) : 



tp (x+t, X, n) = (-1)'" m{x-t,x,n), 



so daß Satz VllI angewendet werden kann. 



Auch Satz XIV und XV können ohneweiters auf unendliche Intervalle ausgedehnt werden: 

 XIV a und XV a: »Man erhält aus den Sätzen XIV und XV Sätze für das Intervall (-oo, + oo), indem 

 man in den Bedingungen 1. und 2. statt »Satz VI« setzt >Satz VI a* und in Bedingung 4. die Integrations- 

 grenzen a und b ersetzt durch x — h und at + Ä (ä > 0).« 



§ 8. Differenziation singulärer Integrale. 



Die Sätze VII und VIII gestatten es auch, Theoreme über die Differenziation von Darstellungen 

 gegebener Funktionen durch singulare Integrale herzuleiten. 



Nehmen wir an, es genüge 'J5 (t„x, n) für alle x von {a, fej.den Bedingungen von Satz VI. Insbesondere 

 ist dann für jedes Teilintervall <: a, ß::> von <: a, b >», das den Punkt x nicht enthält: 



(1) lim r'f(ix,n)di = 0, 



" = <» Ja 



während für das Intervall <:«,&>> gilt : 



(2) lim f ^(^,x,n)di=iL 



■" = <» Ja 



Ist/(.T) Stetig in allen Punkten von (a, b), so haben wir in ganz {a, b): 



(3) - /W= lim rf{i)'^{i,x,ii)di. 



80 tp 

 1 Es ist in dieser Formel durch tp zu ersetzen und i (/— 1) . . . (j — c-f- 1) für >- = zu ersetzen durch 1. 



