Darstellung gegebener Fiinklioiieu. 615 



Differenzieren wir Formel (1), die nichts anderes ist als Formel (3) für diejenige Funktion/^ die :=. 1 

 ist in <; a, ß :> und =r außerhalb -< a, ß >-, m-mal nach x und nehmen an, was natürlich durchaus 

 nicht immer der Fall ist, es könne die Differenziation unter dem Limes- und Integralzeichen ausgeführt 

 werden, so erhalten wir: 



8'' 



lim \ 



(p (6, X, n) di = 0, 



3"' 

 das heißt es genüa;t der Kern cd (^, x, vi] der Bedingung 2. von Satz VII. 



Schreiben wir neben Formel (2j, die nichts anderes ist als ^3) für/= 1, noch die aus ('S) für 

 /^ i;' '^Z = 1, 2 m) entstehenden Formeln auf: 



(4) lim i' 'f {i, X, n) di = x' (^ = 1, 2,. . ., m). 



j; — CO 



i^' 



Differenzieren wir die Formeln (2) und (4) ««-mal nach x und nehmen wir wieder an, es könne die 

 Differenziation unter dem Limes- und Integralzeichen ausgeführt werden, so erhalten wir: 



r* 8"' 

 lim i' 'j> (L x, n) di = f/ = 0, 1 m - 1), 



n = <x>J„ 8;l'"' ■ ^- • - 



ri' 8"' 



n = coJ„ dx'" 



d'" 



■ Hieraus folgt unmittelbar, daß der Kern (t (?, ,i.', li) der Bedingung 4. von Satz VII genügt. 



8 .r'" 



Nehmen wir also an, er genüge auch noch den Bedingungen 1. und 3. von Satz VII, welch letztere wir 



nun aufschreiben als Bedingung: 



3 a. Es .gibt ein N, so daß: 



I 



b\ 9»" 



\i~xY" 's>(tx,n) 



di, <; A/' für alle h. 



so kann Satz \'II angewendet werden, tmd wir haben das Resultat: 



8'" 



Genügt so\vohl der Kern 'i d, x, ii) als auch der Kern cd (;, x, in der Bedingimg 1. \-on Satz \ 1, 



8.r"' ' ' ■■ ■ 



genügt der Kern % ii, x, u) ferner den Bedingungen 2., 3. und 4. von Satz VI und unserer Bedingung 3 a, 



und darf Formel (3) für/ = 5' (i = 0, 1 ;;;) sowie für die Funktionen /, die in einem den Punkte' 



nicht enthaltenden Teilintervalle <: a, ß :> von <: a, b :>■ den Wert 1, sonst den Wert ö haben, m-mal 



unter dem Limes- und Integralzeichen nach x differenziert werden, so gilt dies für jedes /von Ji, Jas im 



Punkte X eine w-te Ableitung besitzt. 



Ein befriedigenderes Resultat erhalten wir, wenn wir uns auf den (von H. Lebesgue ausschließlich 

 betrachteten) Fall beschränken, daß der Kern die Form hat: s (i — x, »). Wir können dann den Satz aus- 

 sprechen: 



XVI. Sei CD (m, m) eine im Intervalle (-/,/)• gegebene Funktion, die eine in jedem Tcil- 

 int ervalle -< a, ß >> von ( — /, /) absolut stetige Ableitung {m l)-t er Ordnung' besitzt. - 



Ferner sei fürjedes nz^O von ( — /, /): 



(5) lim CD (u, n) = 0; lim cpW («, n) = {i = \, 2, . . ., m — 1). 



n = oo K = oo 



1 Es ist (im Falle in = 1 i unter der Ableitung 0-tar Ordnung hier wie im Folgenden die Funktion la i«, ii) selbst /.u verstehen. 

 ■-Darausfolgt, daß in i— /. /i auch die //;-te .\bleitung •£('") a<) überall, abgesehen von einer Nullmenge, als endliche Zah 1 

 existiert. 



