616 , H. Hahn, 



Damit für jede im Intervalle <: a, a + / :> zur Klasse ^7 gehörige Funktion, die im 

 beliebigen Punkte -T \'on {a, a + 1) endliche Ableitungen der m ersten Ordnungen besitzt, 

 die Formeln gelten: 



Xa+l 

 f{i)'^{i-x,n)di, 



/W {x) - lim (-ly r^/(a) ?» {i-x, n) d% {i- 1, 2,. . ., m\ 



n=oo J^, 



(7) 



ist notwendig und hinreichend, daß tp (u, n) folgenden Bedingungen genügt; 



1. In jedem Teilintervalle <; a, ß >> von ( — /, /), das den Punkt nicht enthält, genügt 

 cpC") (u, n) der Bedingung 1. desjenigen der Sätze I bis IV, der sich auf die Klasse ^j bezieht. ^ 



2. Fürjedes Teilintervall <:a, ß^- von ( — l, l), das den Punkt nicht enthält, ist: 



lim I w (h, n) du ^ . 

 K = 00 . L ' 



3. Es gibt ein A^und ein ä>-0, so daß: 



(8) I JM'" (p<'"> (m, n)\ du <.N für alle n. 



4. Es gibt ein A >- 0, für das: 



(9) lim / cp (m, m) du ^ 1 . 



Die Bedingungen sind hinreichend. Bemerken wir zunächst, daß man durch partielle Integration 

 erhält: ^ 



I |m«-1 tp("'-l'(M, m)! -i« =: |tp("'-l)('ji,fi)| / M'".Sgn(p('"-l)(«i, w)cpW(M, ^^) dM . 



X «^ ' Jo w« Jo 



Es gibt also, wegen (8j und (5), ein M, so daß: 



I !m"'-i cp('" -1) {ti, n) \du < iW für alle n. 



Ebenso sieht man, daß es ein ilf gibt, so daß: 



I |m'"-i cp("'-i) («, j^) |tZM < M für alle n. 



J—h 



Wir sehen also schließlich, daß aus (8) folgt: es kann N so groß angenommen werden, daß: 



(10) I I w'" ~ 1 cp ^"':-^) (m, m) i rf w < yV für alle m. 



J—h 



Ebenso wie (10) aus (8) hergeleitet wurde, kann aus (10) hergeleitet werden: es kann A'' auch so 

 groß angenommen werden, daß: 



"h 



Xh 

 h 



M"'-2 (pC'«-2) (u, it)\du < A'' für alle n, 



1 Daraus folgt, daß dasselbe auch für tp (», n) und tp© («, «) (i =1,2,..., m— 1) gilt. 



3 In der folgenden Gleichung bedeutet sgn 'ii('"— 1) das Vorzeichen von tsO"— 1), wo o('"— 1) :j: ist, und den Wert 0, wo 

 p(m-l) =0 ist. 



