Dai'stelhinii gegebener Fnnktiotieii. 



617 



und indem man so weiter schließt, sieht man, daß aus Bedingung 3. und (5) folgt: es gibt ein N, so daß: 

 (11) 



(12) 



I I M» tpW {u, n) I du <: N für alle n (i ■=: 1,2,..., m) 



J—h 



I j ff (m, n) I dii. <: iV für alle n . 



J—h 



Ferner erhält man durch partielle Integration: ' 



J 



I 'uJ'i('>(n, n)du= V (-[yj(j-i) 



' c = 



I «'■ tpW (h, n) du = y (-!)'■• ■/ (f — 1) . . . 



(i—r+ 1) M'-'' (p('-'--i) (7?, w) 



("0 <.j <.i ^m) 



-h 



•(-1) 





h) du 



(0 



im), 



so daß wir wegen (9) und (5) die Formeln haben: 



n) du =iO (0 <:y <: «■ ^ m) 



(13) 

 (14) 



lim 



j; = oo 



XuJ tpCO (m, 



lim 1 M' cp(''> (m, n) du = (— l)'«« ! 



(0 <: «■ ^ w) . 



Endlich folgt aus: 



r 



(pW (i^, 7«) du = cp('-i) (m, m) 



wegen (5; unmittelbar für jedes den Punkt nicht enthaltende Intervall 

 <: — h, h >> : 



(15) 



um 



n — oo . 



'f<'>{tt, h) dn — Q (/=: 1. 2, 



;a, ß >-, sowie für jedes Interval 



m). 



Bedingung 1., '!., 4. unseres Satzes zusammen mit Ungleichung (12) besagt nun aber: liegt .r in 

 u(, a + /), so genügt der Kern 'f {i,x, n) ^ -f (,* — .r, ;/') im Interwnlle -< a, a + />- der Veränderlichen ; allen 

 Bedingungen von .Satz \'l. Ferner besagen die Bedingungen 1. und 3. unseres Satzes zusammen mit den 

 Ungleichungen (11; und den Gleichungen (13), (14), (15): der Kern 'f (s, .v, ;;) = ( — /)'■ f"'^ (I — -t-, ;/.) 

 («■=1,2..., m) genügt allen Bedingungen von Satz VII für ;;/ ^= i. Damit aber sind unsere Bedingungen 

 als hinreichend erwiesen. 



Die Bedingungen sind notwendig. Angenommen in der Tat, es wäre Bedingung 1. für ein den 

 Nullpunkt nicht enthaltendes Teilintervall <: a, [3 >- von ( -/, /) nicht erfüllt. Da die Länge von <: a, ß :> 

 gewiß -< / ist, gäbe es in {a, a + /) einen Punkt x, so daß <: a, ß >■ in <; a — x, a-x + / >- enthalten 

 wäre. Dann aber würde der Kern 'f^'") il — x, n) im Intervalle < a, (7 + / >- der V'eränderlichcn | nicht der 

 Bedingung 1. von Satz VII genügen, so daß (7) für / — ;« nicht für alle Funktionen von iv,- gelten könnte. 

 Angenommen, Bedingung 2. wäre für ein den Nullpunkt nicht enthaltendes Teilintervall <: a,ß >- von 

 (— /, l) nicht erfüllt, so sieht man ebenso, daß für ein gewisses ;v von (u, a + /) der Kern -s (§ — ,r, u) in 

 <:a, a + /> der Bedingung 2. von Satz VI nicht genügen würde, so daß (6) nicht für alle Funktionen 

 von 5,- gelten könnte. Wäre Bedingung 3. nicht erfüllt, so könnte 'f("') (I — .v, n) für kein x \-on (a, a + /) 

 der Bedingung 3. von Satz VII genügen. Bedingung 4. ergibt sich als notwendig durch Betrachtung der 

 Funktion, die in <: x—li, x -\- h ^^ den Wert 1, außerhalb -< ,r — //, .r + /; >- den Wert hat. 



1 In den folgenden Formeln ist ^i durch 'f und / . ( j— H 

 nenkschriften der mnthem.-n.iturw. Klü^se. 9;t. Band. 



(i—i--+- l'i Rir /■:=0 durch I v.w ersetzen. 



