618 H. Hahn, 



Satz XVI wird ergänzt durch: 



XVII. Gen ügt die Funktion cp (/;, ;/.j außer den Voraussetzungen und Bedingungen von 

 Satz XVI noch für alle hinlänglich kleinen J7/1 der Beziehung: 



(0 («., n) =: 'f ( — 7', 11), 



so gilt Satz XVI auch noch, wenn man darin die Ableitung/"' (:r) durch die verallgemeinerte 



/-te Ableitung/'^ (.r) ersetzt. 



Der Beweis ist derselbe, wie für Satz XVI, nur hat man sich, statt auf Satz VII, diesmal auf Satz VIII 

 zu berufen. 



Auch die Sätze XVI und XVII können sofort auf das Intervall ( — co, + 00) übertragen werden. Wir 

 führen zu diesem Zwecke wieder die Funktion <h (11, 11, Ji) ein, die aus 'f (n, «-) dadurch entsteht, daß man 

 die Funktionswerte im Intervalle <; — //, /; >- durch ersetzt. Die /-te Ableitung von '}) fw, 11, h) sei 

 t!)W (u, n, h). 



XVI a. »Sei cp (h, n) eine für alle reellen // gegebene Funktion, die eine in jedem endlichen Intervalle 

 <: a, jj :> absolut stetige (m— l)-te Ableitung besitzt. Ferner sei für jedes « =^ 0: 



lim cp (w, h) z= 0; lim tpW (h, «) ^ (« =: 1, 2, ..., m — 1;. 



1! = 00 n = 00 



Damit für jede in ( — 00, + 00) zu 55/ gehörige Funktion, die im beliebigen Punkte .v endliche Ableitungen 

 der m ersten Ordnungen besitzt, die Gleichungen gelten: 



-00 



(7fl) /« (x) — lim ( - ly fd) 'f<'' a- X, n) cii ii =1,2,..., ni), 



« = 00 J_^ 



ist notwendig und hinreichend, daß 'f(u,n) folgenden Bedingungen genügt: 



1. Für jedes h :>- genügen <L (11, 11, h) und 'Y'- («, n, Ji) (/= 1, 2, . . ., iif) der Bedingung 1. desjenigen 

 der Sätze la bis IV a, der sich auf die Klasse ^,- bezieht. 



2. In jedem endlichen, den Nullpunkt nicht enthaltenden Intervalle <: a, ß :> ist: 



lim I cp (m, 11) du =z 0, 



"=°°Jrj. 



und wenn es sich um ^^ handelt, ist außerdem für jedes /; >- 0: 



r—ii f+00 



lim I 9 (11, n) du- ^ 0; lim 1 'j (u, n) dii. z= 0, 



X—h ,"+00 



(pW (m, 11) du ■=. 0; lim 1 'pW (^^^ 7;,) rfw, :=; (7' = 1, 2,. . ., «/.). 



3. und 4. Es sind die Bedingungen 3. und 4. von Satz XVI erfüllt.« 

 XVII a. >-Ist außerdem für alle hinlänglich kleinen j/t|: 



tp (m, n) = 'p (—7/, w), 



so kann in XVI a die Ableitung/"' (x) auch durch die verallgemeinerte /-te Ableitung/'^ (x) ersetzt werden.« 



