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§ 9. Bedingungen für gleichmäßige Konvergenz. 



Wir geben nun Bedingungen an, unter denen die Konvergenz in den Formeln (6j und (7) von § 8 

 ein gleichmäßige ist. 



Sei f (u, 11) für alle nicht negati\en ganzzahligen ii als Funiction \"on 11 gegeben in ( — /, l). Ist li :>■ 

 irgendwie gegeben, so bezeichnen wir wieder mit 'h (u,u,Ji) die Funktion, die in < — h,h^>- gleich 0, sonst 

 gleich 'i (//, n) ist. 



XVIII, Sei 'ff«,;/) eine in i —1, l) gegebene, in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden 



Teilintervalle <: a, ß :> von (—1,1) für jedes einzelne» geschränkte Funktion, für die die 



Beziehung: 



/, lim 'i (u, n) = 



> / n = 00 



g 1 e i c h m ä ß i g i n j e d e m d e n N u 1 1 p u n k t nicht enthaltenden T e i ii n t e r \- a 1 1 e <: a, p >» \^ o n { — 1,1) 

 gilt und die außerdem folgenden Bedingungen genügt: ' 



3. Es gibt ein // >- und ein V, so daß : 



r 



-h 



1 \'i> (n, n)\ Jii- <: N für alle //. 



4. Es gibt ein /; :> 0, so daß: 



lim 1 !f (u, II) du := 1 



Dann gilt für jede in < fl, a + />- zu ^i gehörige - Funktion/ die Formel: 



f(ß)'^(i~x,n)ifi 



in jedem Punkte ,v von (a, a + 0, in dem/ stetig ist; sie gilt gleichmäßig in jedem Teil- 

 intervall <: a', M r> von (a, a + /), in dessen sämtlichen Punkten /stetig ist. 

 Zum Beweise genügt es zu zeigen, daß der Kern 



'i (t, X, n) =; 'i (I — -V, II) 



den Bedingungen von Satz X für die Klasse ^^ genügt. 



Sei, um dies für Bedingung 1. von X nachzuweisen, /; >0 beliebig gegeben und x ein Punkt \'on 

 <: a', Zi' >>. Die Werte von -L u, .r, ;/, /() = '!- (5 — x, 11, h) sind in <: .v -//, ,v + // > und stimmen in 

 <: a, x-h >- und < x + ii, a + l :> überein mit denen von 'f (;/, 11) in <: a-.v, - li :> und < //, ü + /-.v>. 

 Diese beiden letzteren Intervalle aber liegen für jedes .v von <: a', b' >- in den Intervallen <: a — b'. —Ii:> 

 und <; //, a + / — a'>, die ihrerseits den Nullpunkt nicht enthaltende Teilintervalle von (' — /, /) sind. 



Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (1) gibt es also ein ;/,„ so daß: 



!'i (11, ii)\ <: 1 für H ^ H„ 



für alle /( dieser beiden Intervalle. Da aber nach Voraussetzung -f (//, 11) für jedes einzelne ;/ in diesen 

 Intervallen geschränkt ist, gibt es ein M {^ 1), so daß: 



\'f(n, n)\ <:M (n= 1,2. . ., ;/„) 



für alle ;/ dieser beiden Intervalle. Wir sehen also, es ist: 



4 (5, X, II, h)\ <: M für alle 11, alle i von <: ii, a + 1 ^^, alle .r von < a', b' :> . 

 Damit ist Bedingung 1. von X '^ nachgewiesen. 



1 Wir bezeiclinen diese Bedingungen mil 3. und 4. wegen der .Viialof^ie mit unseren bisherigen Salzen. 

 - Und mithin auch für jede zu go. IS^, S'i gehörige Funktion. 

 3 Das heißt Bedingung 1 a und 1 b von Satz IX. 



