620 H. Hahn, 



Sei, um Bedingung 2. nachzuweisen, <: a, ß > ein beliebiges Teilintervall von <: a, a -h !■>. Es ist: 



£ 



(j> (^, ar, #, h) d^= I tj) (m, w., &) ^M . 



Für alle x von <: a', b' >- liegt das Integrationsintei-vall <: a — .r, ß — ,t- >> in <: a—b', ß — a' >-, das 

 seinerseits in ( — /, /) liegt. Es ist also: 



(2) 'h{i,x,n,h)di 



I (]) («, M, Ä) j du . 



)a.~bl 



Nun ist aber, wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (1): 



lim 'h {ih M, Ä) = , 



gleichmäßig in ganz <: a — b', ß — a' :> und somit: 



|tb (2f, ;«, 7?.)j dii. := 0. 



Da dieser Ausdruck von x nicht abhängt, ist zufolge (2) Bedingung 2. von X bewiesen. 

 Daß Bedingung 3. und 4. von X erfüllt sind, folgt wegen: 



£x+Ii r'h r'x+h /-h 



\(f{i,x,n)\ di = l |(p (», n)\ du; I tp (5, x, n) di,— i (p (m, n) dti 

 -h J—Ii Jx—h J—h 



(wo die rechten Seiten von x nicht abhängen) sofort aus den Bedingungen 3. und 4. unseres Satzes. 



XIX. Sei'.p(M, «) eine in ( — /, /) gegebene Funktion, die eine in jedem Teilintervalle 

 <: a, ß >- von (— /, T) absolut stetige (m— l)-te Ableitung besitzt. ^ Ferner möge die Beziehung: 



(3) lim cp("'-i) (m, 11) — 



M= 00 



gleichmäßig in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden Teilintervalle <: a, ß >- von ( — /, /) 

 gelten. Sind dann noch die Bedingungen 1., 2., 3. und 4. von Satz XVI erfüllt, so gelten die 

 Gleichungen (6) und (7) von Satz XVI gleichmäßig in jedem Teilintervalle -< a', b' :>- von 

 (a, a + /), in dem die zu %i gehörige Funktion/«^-mal stetig differenzierbar ist. 



Korollar zu Satz XIX. Existiert die Ableitung cp("') (w, -«) für jedes uz^O von { — l, 1), ist sie für 



jedes einzelne n geschränkt in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden Teilintervalle <: a, ß > von ( — /, /) 



und ist: 



lim «pW (m, m) = 

 »=00 



gleichmäßig m jedem der genannten Teilintervalle <: a, ß >>, so ist in Satz XIX die die Beziehung (3) 

 betreffende Voraussetzung sowie Bedingung 1. von Satz XVI für die Klasse g^ von selbst erfüllt. 



Wir beweisen Satz XIX. Was die Gleichung (6) von XVI anlangt, braucht nur gezeigt zu werden, 

 daß '£ {11, n) den Voraussetzungen und Bedingungen von Satz XVIII genügt: daß in jedem den Nullpunkt 

 nicht enthaltenden Teilintervalle <a, ß>- von (—1,1) tp (?/., n) geschränkt ist für jedes einzelne h, folgt 

 unmittelbar aus unseren Voraussetzungen über 'p("'-i) (m, ■«,). Was die in Satz XVIII vorausgesetzte 

 Beziehung (1) anlangt, so folgt aus dem gleichmäßigen Bestehen von (3), daß in jedem den Nullpunkt 

 nicht enthaltenden Teilintervalle <: a, ß :> von (' — /, /) eine Beziehung: 



lim { '1/ (u, n)+ Cß (n) + u\ (n) u + . . . + €,„_.;_ (n) u"'-^ \ = 



' Für m = 1 ist darunter die Funktion tp («, n) selbst zu verstehen. 



