DamteUnng gegebener Funktionen. 621 



gleichmäßig gilt, was mit Bedingung 2. von Satz XV'l nur dann verträglich ist, wenn: 



lim Cf, (h) m lim c, (/?) ^ . . . — lim c,,,^., (w) ^= 



II — OO II — CO ?/ = oo 



ist; damit ist das gleichmäßige Bestehen von (1) nachgewiesen. ~ Bedingung 3. von X\'I1I ist erfüllt, 

 wegen (12) von § 8, und Bedingung 4. von XVIII ist identisch mit 4. von XVI. 



Was die Gleichungen (7) von XVI anlangt, braucht nur gezeigt zu werden, daß die Bedingungen 

 \'on Satz XI ei'füUt sind, wenn unter dem Kerne 'i (i, x, n) von Satz XI verstanden wird der Kern 

 (■- ly tp« (i—x, n) 6z = 1, 2 ;;;). 



Um zu zeigen, daß Bedingung 1. von Satz XI erfüllt ist, bemerken wir: durchläuft in ii^'Hc — x,n,li) 

 die Veränderliche | das Intervall <: a, a + !:>, so durchläuft ^ — x das Intervall < a — x, a + l — .•v;:>, 

 und da (Jj® {i — x, n, h) in <: x — h, x+h >• den Wert hat, kommt es nur an auf die Intervalle <: a — x, —h >» 

 und <: Ii, a + 1 — .r>-, die, solange ;v in <: a', b' .> liegt, ganz in den Intervallen <za — b', — Ii :> und 

 -=ch,a + 1 — a'>- enthalten sind, die wieder ihrerseits Teilintervalle von ( — /, I) sind, die den Nullpunkt 

 nicht enthalten. Es folgt also Bedingung 1. von XI für iz=m unmittelbar aus Bedingung 1. von XVI. — 

 Für i-=ztn — 1 beachte man, daß nach Voraussetzung '.p("'~'V//, ;;) in den Intervallen -^ia—b', —li:>' und 

 <:h,a+] —a' :> absolut stetig und somit geschränkt ist, woraus, zusammen mit der gleichfalls voraus- 

 gesetzten gleichmäßigen Kon\"ergenz von (3), wie \vir schon beim Beweise \'on Satz XVIII gesehen haben, 

 das Bestehen der Bedingung 1. von XI für die Klasse g^, und damit auch für die Klassen ^5-3, ?5*3' ^4 leicht 

 folgt. ~ Dasselbe gilt für «= 1, 2,. . .,m — 2, da die Funktionen k"-'^ («,«),(? = 1, 2, . . ., m— 2) sicherlich 

 gleichfalls absolut stetig sind und auch für sie die Beziehung: 



(4) lim (pC) (w, «.) = (/ =1,2, m~2) 



11=: CO 



gleichmäßig in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden Teilintervalle <: a, ß :> von f—/, /) gelten muß, 



was aus dem gleichmäßigen Bestehen dieser Beziehung für / ^ m — 1 und Bedingung 2. von X\l leicht 



folgt, wie wir gerade vorhin für tp {u, n) gesehen haben. 



Bedingung 2. von XI verlangt, daß in jedem Teilintervalle < a, ß >- von < a, a + 1 >■ die 



Beziehung: 



'P 

 (o) lim I J)ö (i-x, n, h) di = (/ =. 1, 2,. . ., m) 



lim «pö (i-x, n, h) dt = u =. 1, 2,. . ., 



" = °0 Jet 



gleichmäßig für alle x von <: a', b' :> gelte. Nun ist: ' 



£ 



^/•m-x,n,Ii) J| = (]>('•-« (;(,»,/;) 



r^Ü-i) (-_/i^ w)-rpl'-l^ (//, n), 



wenn (a ßj die beiden Punkte x — li und x + // enthält; ist einer dieser Punkte nicht in (a. ß) enthalten, so 

 ist diese Formel durch Weglassen emes oder beider Summanden cp('-'> ( — h, u), 'j''-'> {h, ;?) zu modifizieren. 

 Ferner ist (p(''-i) (m-, m, ä) = oder = tpO-i) (?;, ;;.), je nachdem !«| ^h oder i?(| :>- h ist. Solange nun x 

 in <: a', b' >- liegt, liegen a— ,v und ß — x in -< 7. — b', ß — a' >-, welches Intervall seinerseits in (— /, /) liegt. 

 Das gleichmäßige Bestehen von (5) folgt nun unmittelbar aus dem gleichmäßigen Bestehen von (3) und 

 dem daraus folgenden gleichmäßigen Bestehen von i4) in den außerhalb (-/;, //) liegenden Teilen von 

 <:a. — b', fj — a' >. 



Endlich sind die Bedingungen 3. und 4, von XI erfüllt, wie die Formeln (II), (13), (14) und (15) von 

 § 8 zeigen. 



Es erübrigt noch, die Sätze XVlll und XIX für unendliche Intervalle auszusprechen. 



XVIII a. »Sei 'f (h, h) eine für alle reellen // gegebene Funktion, für die die Beziehung: 

 (6) lim tp (tt, n) = 



« = OO 



Hierin isl f(P) durch ip und <]i(f>) duicli '| zu ersetzen. 



