622 H. Hahn, 



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gleichmäßig in jedem endlichen den Nullpunkt nicht enthaltenden hitervalle gilt. Damit für jede in 

 (— oo, -f- oo) zur Klasse %, gehörige Funktion in jedem Punkte :r, in dem sie stetig ist, die Beziehung gelte: 



(7) . /(.r)= lim r'"f{i)'L{i~x,n)di, 



ist notwendig und hinreichend, daß 'f (//, ») folgenden Bedingungen genügt; 



1. Für jedes h > genügt 4 (;/, ii, Ji) der Bedingung 1. desjenigen der Sätze la bis IV a, der sich auf 

 die Klasse 5/ bezieht. 



2. Im Falle der Klasse g-j^ ist für jedes 7; >> 0: 



n—li Z'+OO 



lim j ti (//, n) cht := 0; lim 1 tf (/«, n) da = 0. 



3. und 4. Es sind die Bedingungen 3. und 4. von Satz XVIII erfüllt. 



Unter diesen Voraussetzungen und Bedingungen ist die Konvergenz in (7) gleichmäßig in jedem 

 endlichen Intervalle -< fl', &' ^, in dessen sämtlichen Punkten /stetig ist.« 



Der Beweis wird geführt durch Berufung auf die .Sätze Vit/ und X t?. Der einzige gegenüber dem 

 Beweise von Satz XVIII neu hinzukommende Punkt ist der, im Falle der Klasse ^.^ nun zu führende 

 Beweis, daß die Beziehungen: 



(8) 



/^O f+ oo 



lim 1 (|j(g — .r, 7/, Ä) c/i; = 0; lim 1 'h {i — x, ii,li) di^z^O 



gleichmäßig für alle .r von <: a', ^' >- gelten. Um dies etwa für die erste dieser Beziehungen zu zeigen, 

 bemerken wir, daß: 



■•0 



r 



J—c 



(j) (i — x, 11, li) tfl = I 'i (//•, ;/, li) da 



/ — oo J— oo 



ist. Wird A >- /; und >- b' gewählt, so haben wir also: 



<\ (^ — -v, //, /?) di, = I '£ (;/, /;) da + | -Jj (//, ;/, //) du. 



oo J~^ oo J—A 



Hierin hängt der erste Summand der rechten Seite von x nicht ab, und es ist wegen Bedingung 2. 



-A 



lim 



(t = 00 



I ffi {u, li) du =z 0. 



J—oo 



Solange nun x in <: a', b' >- liegt, liegt <: — ^, — ,v:> in <: --^-1, - tt' >-, und es ist daher: 



j ({) («, «, /;) dil\ ^ i \'b(n, II, ll\ du . 



)-A ' ! J-A 



Aus der vorausgesetzten gleichmäßigen Konvergenz von (6) folgt nun aber: 



X — al 

 \'lf (u, 11, h) I du ^ 0, 

 .4 



und da dieser Ausdruck von x nicht abhängt, ist damit die gleichmäßige Konvergenz von (8) nach- 

 gewiesen. 



XIX (7. 'Sei rp («, ii) eine für alle reellen n gegebene Funktion, die eine in jedem endlichen Intervalle 

 absolut stetige (m— l)-te Ableitung besitzt, für die die Beziehung: 



lim tf("'-i)(7f, li) = ü 



