Darf:felliing gegebener Fiuihlinueii. 623 



gleichmäßig in jedem endlichen, den Nullpunkt nicht enthaltenden Intervalle <: a, ß :> gilt. Damit für jede 

 in (— oo, + oo) zur Klasse 5"! gehörige Funktion /", die im Punkte .r endliche Ableitungen der w ersten 

 Ordnungen besitzt, die Beziehungen gelten: 



/•+ CO 



(9) fix) — lim 1 /(c) 'i u -v, ») ili. 



"1 



■+00 



(10) /» Cr) = lim ( - 1 )' f(i) ':<'> (i-.v, ;/) iH (i =1,2,..., m) 



ist notwendig und hinreichend, daß 'i (//, ii) den Bedingungen 1., 2., 3., 4. von Satz XVI a genügt. 



Unter diesen Voraussetzungen und Bedingungen ist die Konvergenz in (9) und (10) gleichmäßig in 

 jedem endlichen Inter\'alle <: a', b' :>, in dem/ /«-mal stetig differenzierbar ist.'< 



§ lo. Singulare Integrale vom Stieltjes'schen Tvpus. 



Wir wenden uns zum Studium eines besonders einfachen Spezialfalles. '■ 



XX. Sei 'f (;/j eine in (—/,/) definierte, nicht negati\'e Funktion. Im Punkte // = sei sie 

 stetig, und es sei cp (0) ^ 1, während in jedem den Nullpunkt nicht ent lialtenden Teilinter- 

 \'alle <: a, ß >- von ( — /, /) die obere Grenze \'on 'i (//) kleiner als 1 sei. Es se i /^ /.,,..., /„,... eine 

 wachsende F"olge positiver Zahlen mit lim ?'„ =; 4- oo, und es sei 7 eine beliebige positive 



Zahl <:/. Ist dann q, c.,,. . ., c,„. . . eine Folge von Zahlen, für die: 



lim c„. / ('sdi.))'" du = 1 



K = 00 J_.^ 



ist, SO gilt für jede in <: 0, (? + />- zur Klasse ^-^ gehörige Funktion -/, die im Punkte .r von 

 (a, a + / ,1 stetig ist, die Beziehung: 



-,« + / 

 f(x)= lim c, f(i){-s(i-x)y"d^. 



" = °° Ja 



Diese Beziehung gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <.a',b'-:>- von U7, c? + /), in 

 dessen sämtlichen P u n k t e n / s t e t i g ist. 



Zum Beweise berufen wir uns auf Satz XVIII, indem wir setzen: 



(1) '■? («, "•) = !-■;; . ('-p («))'" • 



Dann ist zunächst klar, daß 'p (//, //) für jedes einzelne // in (' — /, /) geschränkt ist. 

 Wir setzen zur Abkürzung: 



(2) /.'„^rCf (;/))'■«.///, 



und haben somit: 



(.3) lim c,,.k„= 1. 



n= 00 



Sei ein beliebiges, den Nullpunkt nicht enthaltendes Teilinterxall <: a, ß >- von ( — /, /) gegeben. 

 Weil die obere Grenze von 'i (;/) in <: oc, ß :> kleiner als 1 ist, gibt es ein r^ >- 0, so daß: 



(4) ^ 'f (n) < 1 -Tj in < a, ß >. 



1 Vgl. H. Lcbesgiie, .1. a. 0., p. 05. 



- L'nd mitbin erst rcclit für jede zu einer der Klassen 5._„ Q;., J.j geliürige Kunktinn. 



