624 • H. Hahn, 



Wegen der Stetigkeit von 's {it) im Nullpunkte und wegen 'j (0) =; 1 gibt es ein 3 >- 0. so daß: 



'j (jA >- 1 '- in <: — 0, § >- . 



Nehmen wir dieses S kleiner an als das y in (2), so haben wir: 



Ä„ > 25.(1 - 



\ 



und infolgedessen nach (3) für alle hinlänglich großen n: 



1 1 



(5) 



8 ,''j_ JT_\^'- 



2 



Nach (1) und (4) ist also in <: a, ß >- für alle hinlänglich großen n: 



. . .. 1 / 1-v] V« 

 \<s{ii, n)\<: — / -^ 



Mi-^ 



2 



1 Y 



Da hierin <: 1 ist, so ist damit gezeigt, daß: 



lim 'f («, n) :=. 



gleichmäßig in < a, ß >- gilt. Die in Satz XVIII zunächst über 'f (•«, w) gemachten Voraussetzungen sind 

 also hier erfüllt. 



Daß auch die Bedingungen 3. und 4. von XVIII erfüllt sind, erkennt man auf den ersten Blick, da 

 wegen (3) und wegen 's (u) ^ 0: 



lim 



11= oo 



I l'f (n, n)\ du =z lim | <p («, n) du = 1 



ist. Satz XX ist damit bewiesen. 



XXfl. Sei 'i («) eine für alle reellen/; definierte, nicht negative Funktion. Im Punkte 

 /t = sei sie stetig, und es sei 'f(0)= 1, während in jedem, den Nullpunkt nicht enthaltenden 

 endlichen Intervalle <; a, , 5 >> die obere Grenze von'fUt) kleiner als 1 sei. Es sei 7 eine 

 beliebige positi\'e Zahl, und /'„ und c„ mögen dieselbe Bedeutung haben wie in Satz XX. 

 Damit für jede in f — 00, +001 zur Klasse ^, gehörige Funktion, die im Punkte, r stetig ist, die 

 Beziehung gelte: 



'ö »^ 



(6) / (x) = lim c„ / (i) ('5 (5 -x))'" dk, 



ist notwendig und hinreichend, daß'ff«) sich höchstens in einer Nullmenge unterscheide 

 von einer Funktion 'f* («), für die: 



(7) lim 'f * (li) <: 1 ; lim -s* (u) -< 1 . 



11=1—00 U — +00 



Ist auch diese Bedingung erfüllt, so gilt föj gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle 

 <: a'. b' ■>-, in dessen sämtlichen Punkten /stetig ist. 



Die Bedingung (7) ist hinreichend: dies wird ebenso bewiesen wie Satz XX, nur hat man sich 

 diesmal auf Satz XVIII a zu berufen und zu beachten, daß, abgesehen von Nullmengen, eine 

 Ungleichung ('4i nun auch ('für /; :> 0) in jedem Intervalle C — 00, — A >- und <: Zz, -\-<x>) gilt. 



