Darstellung gegebeiier Fnnktioneu. 625 



Die Bedingung (7) ist notwendig. In der Tat, es ist für jedes y >- 0: 

 (8) lim I (tp (m))'« du = . 



Denn ist s :> und <; 7 beliebig gegeben, so gibt es ein yj > 0, so daß : 



S E 



^ «c (w) <: 1 — V] in -< — "c, >- und in < — , y ;>• 



4 4 



Wegen (p (m) ^ 1 ist also, indem man die Zerlegung; 



anwendet: 



-x: 



(tp (m))'« £^m ^ 2.(1 —-/))'■« -Y + — , 



und daher für alle hinlänglich großen 11: 



0^1 (tp (#))'■» du <: s, 



womit (8) bewiesen ist. 



Aus (8) aber folgt wegen (3): 



(9) lim c-n =: + 00. 



« = 00 



W'äre nun Bedingung (7) nicht erfüllt, so gäbe es (außerhalb eines gegebenen endlichen Inter\'alles) 



1 



eine Menge, die keine Nullmenge ist, und in deren Punkten (cp (/i))'" 5* — und somit © (//, n) :> -" wäre. 



Wegen (9) wäre also Bedingung 1. von Satz XVlIIa für die Klasse ^j nicht erfüllt. 



XXh. Genügt die Funktion 'f (») allen Voraussetzungen von Satz XX a und ist: 



lim 'p (u) <: 1 ; lim 'p (u) <: 1 , 



SO gilt Formel (6) auch für jede, in 1 00, + do) zu einer der Klassen jy,„ 5,j. (Vi ye hörige Funktion, 

 die im Punkte ,v stetig ist, vorausgesetzt, daß im Falle der Klasse ^o das Integral 



X+ 00 

 (rp («))-'■' du, 

 00 



im Falle der Klassen %.^ und ^4 das Integral 



,1 



('f (/t))''' '/« 



existiert. Und zwar gilt dann die Beziehung (6) gleichmäßig in jedem endlichen lnter\-alle 

 <: a'. ^'r>, in dessen sämtlichen Punkten/(,r) stetig ist. 



Zum Beweise bemerken wir, daß Ungleichung (5) offenbar auch so ausgesprochen werden kann: zu 

 jedem C >- 1 gibt es ein Wq, so daß : 



(10) c„ < C'" für ;/. ^ M„. 



Für den Fall der Klasse 5., wird XX b bewiesen sein, wenn wir zeigen: für jedes // > ist: 



(11) lim c„- / \'i {u)y'" d H = 0; Vim c,r r°°(<s (u))-'" du = 0. 



Doiilochriften der m.ithem.-natunv. Klasse, 9o. Bund. 84 



