626 H. Hahn, 



Beweisen wir dies etwa für die zweite dieser Formeln. Nach Voraussetzung gibt es ein {)■ <: 1, 



so daß; 



^ 'S (u) <; a- (-< 1) in <: h, + oo). 



Bezeichnen wir den Inhalt der Menge aller Punkte \'on <: //, + oo), in denen: 



^ , ^ ■8' 



^ 'S in) < — 



v + 1 V 



ist mit e^, so haben wir: 



oo ^ . 



r°°((p {n)y '. dn^y^ iJ-y'' e.„ 



wo die rechts stehende Reihe wegen der vorausgesetzten Konvergenz des links stehenden Integrales 

 konvergent ist. Es folgt hieraus sofort die Konvergenz der Reihen: 



^\ 2,-„ 



OO 



■ : ßv 



v=l 



so daß die Ungleichung aufgeschrieben werden kann: 



oo 



v=l 



Setzen wir noch: 



oo 



s 



=z 



so haben wir: 



und somit wegen (10): 



r 



(tp(M))2'»<:/?t^S.'&2'», 



■^+00 



(12) £-,;- ('f (m))-'" du ^ 5.(C-^)-'" für n ^ m^ . 

 Hierin war l, irgend eine Zahl >- 1. Wählen wir sie gemäß: 



1 <C< — , 



so folgt nun aus (12) unmittelbar die zweite Gleichung (1 1). Ebenso beweist man die erste. 

 Im Falle der Klasse g-^ genügt es, folgende zwei Tatsachen zu beweisen: 

 a) Ist ein endliches, den Nullpunkt nicht enthallendes Intervall <: a, ß >- gegeben, so gehört zu jedem 

 £ >> ein X :> 0, so daß für jede Menge / sich nicht überdeckender Intervalle von <: a, [3 >- deren 

 Gesamtlänge <: X ist: 



(13) c„ I (cp (w))'" Jh < e für alle ?«. 

 b) Zu jedem s :> gehört ein A, so daß: 



(13 a) c„ I {'S {u)yn du <. t; c,A ('s (n))'" du <: e für alle w. 



J- oo Ja 



Um die Tatsache aj zu beweisen, zeigt man zuerst, wie beim Beweise von Satz XX, daß die 



Beziehung: 



lim c„ (tp (h))'" = 



