Darstellung ,i^egebeuer Funkfioucit. (327 



gleichmäßig in <; a, ß :> gilt, woraus die Gleichung folgt: 



(14) lim c„ f (cp (tt))'» du = 0. 



« = °0 Ja 



Ist sodann z :>■ beliebig gegeben, so kann man iif, so groß wählen, daß: 



(15) c„ i ('S (u))'" dit <.s für 7J >- Wg. 



Nun kann man, zufolge einer bekannten Eigenschaft der Lebesgue'schen Integrale für jedes einzelne 

 M zu dem gegebenen s ein X„ so bestimmen, daß für dieses n und für X z= X,, Ungleichung (13) gilt. Wählt 

 man nun für X die kleinste der Zahlen Xj, X^,. .., X,,;,, so gilt nun, bei Berücksichtigung von (15), Un- 

 gleichung (13) für alle n und die Tatsache a) ist bewiesen. 



Um die Tatsache b) zu beweisen, zeigt man zuerst, daß: 



(16) lim c„ i ('f (h))'" du = 0, lim c„ i ('f (ii))'" dn = 0, 



was ebenso bewiesen wird wie (11). Sodann wählt man «p so groß, daß: 



r'+ oo 



(17) c,„ I (tp (m))'" du <: z für n >» u^^ . 



Für jedes einzelne it aber gibt es, da jedes Integral: 



X+ CO 

 ('f («))'" dii 



konvergent ist, ein An, so daß: 



(18) c,A {'^{ii)f" du<.z. 



Ja,, 



Wählt man also A größer als die Zahlen 1, ,4^, .4.,,. . ., .4„„, so gilt, wegen (17) und (18), die zweite 

 Ungleichung (13 a) für alle M. Analog zeigt man, daß die erste Ungleichung (13 t?) gilt, und Tatsache ^y) 

 ist bewiesen. 



Daß Satz XXb auch für die Klasse ^^4 richtig ist, folgt aus (14) und (16V 



§ II. Die verallgemeinerte Stieltjes'sche Formel. 



Es genüge wieder 'f (u) den Voraussetzungen von Salz XX (beziehungsweise XX a oder XXb). 

 Wir wählen für die in diesen Sätzen auftretende Zahlenfolge /j, i,,. . ., i,,,. . . nun der Einfachheit halber 

 die Folge 1, 2,. . ., n,. . .. Ersetzt man in (2) von § 10 die Zahl y durch eine andere positive Zahl -(' von 

 ( — /, l) (beziehungsweise eine beliebige andere positive Zahl 7') und setzt: 



(1) k„ = C Cf (»))" du ; k'„ = r\'f («))" äti, 



so gelingt es leicht, die Differenz kn — k',, abzuschätzen. Sei etwa ■(■' <: 7, Dann hat man: 



k„ - k'„ = r "' Cf ("))" d u + f\ {u)r d n . 



Da in <:- ■(, —•(■'>> sowie in <: 7', 7>> die obere Grenze \on 'f (/() kleiner als 1 ist, gibt es ein t^ >> 0, 

 so daß in diesen Intervallen: 



0^9 (u) <: 1 — Tj, 



