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und somit: 



i',-Ä;,,< 2(7-70(1 -vir. 



Wir haben also allgemein: es gibt ein positives i)- <; 1, so daß für alle hinlänglicli großen n: 



(2) \h,~k'„\<.r (o<^<i). 



Diese einfache Bemerlcung ermöglicht es, unter weiteren spezialisierenden Annahmen über das 

 Verhalten von » {n) in der Umgebung des Nullpunktes, eine asymptotische Auswertung von /;„ vorzu- 

 nehmen und dadurch einfache Ausdrücke für die Konstanten c„ zu ermitteln. 



Es habe w (n) außer den schon bisher geforderten Eigenschaften die Gestalt: 



(3) cp (m) ^ 1 — a \u[p + iti (u)' \u\^\ 



worin : 



H) a :> 0; jp > 0; lim w (wj = 



11 = 



sei. Wir können dann, wenn ein // >- beliebig gegeben ist, 7' so klein wählen, daß in <: —7', 7' >- die 

 Ungleichung gilt: 



(5) l-(a+/j) \u\i'^w(u):^\-(a-h)-\u\^', 

 und somit auch: 



(6) 2 / '{1 -(a + h)\n\p}"du g | (tp (»))" rf« ^ 2 ^{1 ■-{a.~h)\u\3'}" du. 



i/o " J--i' Jo 



Dies führt uns auf die Aufgabe, eine asymptotische Auswertung des Integrales: 



(7) x„ (ß, a,p,q)=\ «? (1 - ß MP)" rf?/ (ß > 0, a > 0, ;; > 0, ^ > 0) 



=X 



vorzunehmen. Nehmen wir die Substitution: 



f = ß • //,'' T = ß • dl' 

 vor, so erhalten wir: 



1 _£±1 T' €±1-1 

 "«(ß.o,;?, ?) = — .ß PVP (l-v)"dv. 



P Jo 



Wir wollen noch annehmen, es sei: 

 (7a) T = ß.ay<l. 



Dann haben wir offenbar die Ungleichung: 



(8) 



Nun ist bekanntlich: 



1 _ üj r^ i±i_i 



x„ (ß, a, p, q) ß P \ V" -f)" rf i; 



P Jo 



1 ?+i 



--ß~T"(l-T)«+i.t-^ 



p 



£ 



!<?+!, 1/7/ 



" r ^ h n + l 



p 



und somit nach der Stirling'schen Formel: 



j;F~'(l-i;)"rfi' = rp-^^ M~V^(7f,) (lim ^(m)=1). 

 \ p I «=00 



Man erhält daher aus (8) wegen: 



lim . w ^ (1 — t)«+i = 



