DarstelUtiig gegebener Funktionen. 629 



die Beziehung: 



(9) lim //. ^' v.„ (fi, ^, /;,?) = — ß p r— — )• 



11 = oo P \ P I 



Sie gilt, wegen (7 d), für [i.a'' < 1. 



Sei nun ein /z >- beliebig gegeben; es Icann dann ■{' so klein gewählt werden, daß in <: — ■[', Y >- die 

 Ungleichungen (5) gelten. Wir haben dann nach (6): 



2%„{a + li, T>.0)^ / \'s (n))"du^2%„ (o.-h, ■(', p, 0). 

 J- ■(/ 



Wählen wir ■(' auch so klein, daß : 



so können wir (9) anwenden und haben, wenn \vir wieder \-on der Bezeichnungsweise (1) Gebrauch 

 machen: 



Ist Tj :>• beliebig gegeben, so ist für alle hinlänglich großen ir. 



9 i/M 1 2 _i/l\ 



— (a + /«)~7r — -r;^//p^, ^ — (a-Ä) p T — + Tj, 



und somit, bei Benützung von (2), wieder für alle hinlängUch großen u: 



2 1 / 1 \ 1 1 2 _ 1 / M _L 



— (a+/0"pr — ~7;7^"-T|^M y k„^ — {a-h) p T { — ] + n p d-"-hri. 



P . \P I P \pI 



Da hierin h und ■f^ behebig waren und <x)' <; 1 ist, ist das gleichbedeutend mit: 



lim n~p' k„=z — a ?"r[ — • 

 H = oo p \P 1 



Zufolge von Gleichung (3) in § 10 können wir also setzen: 



Wir haben damit den Satz; 



XXI. Sei tp (?/) eine in ( — /, ^j gegebene, nicht negative Funktion der Form (3), (4), deren 

 obere Grenze in jedem den Nullpunkt nicht enthaltenden Teilintervalle <:a, ß:> von ( — /, T) 

 kleiner als 1 ist. Dann gilt für jede in <: (7, a+ />- zur Klasse 5\-, gehörige Funktion, die im 

 Punkte X von {a,a+ l) stetig ist, die Formel: 



1 



(10) ^, p'<j.i' -- •""+' 



f{x)= ^""\\ , lim n'r /" 7(?)((p(5-.v))" ./?. 



^P . 



Diese Beziehung gilt gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: iz', Z-»' .-> von {a, a + l),\n 

 dessen sämtlichen Punkten/stetig ist. 



Formel (10) wurde für den Fall 7' = 2 aufgestellt von Stieltjes. ' Man erhält wichtige Spezialfälle 

 der Stieltjes'schen Formel, indem man für i — l, l) das Intervall T— 1, 1) nimmt und setzt: - 



cp («) = l—u'^, 



' Coriespundance de Hermile el de StieUjes, Bd. U, p. 185. Ntilieics hierüber: H. Lebesguc, a. :i. O., p. 1 19. 



- E.Landau, Rend. Pal., Bd. 25, p. 337; Cb. J. de la Vallee-Poussin, Acad. Bruxelles, Bull. Classe des Sciences 1908, p. 193. 



