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oder indem man für { — 1, l) das Intervall (^2 7r, 2x) nimmt und setzt: ^ 



fp (#) =: COS - 



XXI fl. Sei tp {n) eine für alle reellen ii gegebene nicht negative Funktion der Form (3), (4), 

 deren obere Grenze in jedem Intervalle (—oo, — //>und <: //, +oo)(ä>0) kleiner als 1 ist. 

 Dann gilt für jede in (-oo, +oo) zur Klasse g^ gehörige Funktion, die im Punkte .r stetig ist, die 

 F'ormel: 



1 



1 



^^^^ /(-r)= ^"';:. lim n' \ f(^)(^{i-x))-di. 



Diese Beziehung gilt gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle -<a', i^'^-, in dessen 

 sämtlichen Punkten/stetig ist. — Existiert das Integral 



3 /'t OO 



('f («))-£?», beziehungsweise / -^ {u) du, 



so gilt dies auch für die in ( — c», +oo) zu g^^, beziehungsweise zu ^^"s, gehörigen Funktionen /. 

 Einen bekannten Spezialfall^ erhält man, indem man wählt: 



cp (u) =: e~""° . 



§ 12. Konvergenz an Unstetigkeitsstellen und Differenziation. 



Wir wollen nun auf den in den §§ 10 und 11 behandelten Typus singulärer Integrale Satz XII 

 und XIII anwenden. 



XXII. Es genüge tp (^f) außer den Voraussetzungen von Satz XXI noch folgenden Bedin- 

 gungen: 'f (i«) ist absolut stetig ^ in einer Umgebung des Nullpunktes und es genügt cp'(««) in 

 dieser Umgehung (abgesehen von einer Null menge) einer Ungleichung: 



(1) |tp'(w)l < ^' |«|^-i (^ eine Konstante). 



Dann gilt Gleichung (10) von § 11 in jedem Punkte x von {a, a + l), in dem die zur Klasse 

 5i gehörige Funktion/ Ableitung ihres unbestimmten Integrales ist. — Ist außerdem in 

 einer Umgebung des Nullpunktes (5 ( — ;;):= tp (m), so gilt (10) von §11 in jedem Punkte .r von 

 (a, a + l), in dem/verallgemeinerte erste Ableitung seines unbestimmten Integrales ist. 



Wir haben uns zu überzeugen, daß der Kern: 



1 



(^) ? (6, -r, n) = ~~-^ »^('f (i-x))" 



allen Voraussetzungen und Bedingungen von Satz XII genügt. Die absolute Stetigkeit wurde ausdrücklich 

 vorausgesetzt. Daß Beziehung (1) von § 6 erfüllt ist, haben wir schon in § 10 gesehen. Ebenso wissen wir, 

 daß die Bedingungen 1., 2, und 4. von Satz XII für die Klasse g-^ erfüllt sind. Es bleibt also nur Bedingung 

 3. von XII nachzuweisen; das heißt, daß es ein h :>■ und ein A'^ gibt, so daß: 



Ui-x) — ^(ix,n)\d^<N füralle M.. 

 -h I ' 8? I 



1 Ch. J. de la Vallee Poussin, a. a. 0., p. 227. 



a Weierstraß, Werke, Bd. III, p. 1. 



3 Es existiert also a' (u), abgesehen von einer Nullmenge. 



