Darxtelliiiig gegebener Fiiiikfioneii. 631 



Dazu genügt es nachzuweisen, daß es ein // >- und ein N' gibt, so daß: 



(4) 



„^ ""^ r ' I«. cp' (ii) (f (ii))" -1 ' du < N für alle n. 



Nun haben wir aber, wenn •,' hinlänglich klein gewählt wird, in <:— y, 7 >-, wegen (3) und (4) von 

 § 11, für ein p <; a: 



(5) 0<'f(«f)<: 1-ßl» '', 



und somit bei Berücksichtigung von (1): 



I \u tp' (u) (tp (m))"-M <;/?/ < 2 .4 I '// 



''(l-[i tii')"-Uiii. 



Dieses letztere Integral aber ist nach der Bezeichnungsweise (7) \'on § 11 nichts anderes als 



z„_i (ß, 7, 71, /'i. Wählen wir noch 7 so klein, daß |B«7''' <: 1, so hat, nach (9) von § 11, « p •7.„_i('p, ■i,p,p) 



für n =^ 00 einen endlichen Grenzwert. Damit ist also (4) und gleichzeitig (3i für /; --=7 nachgewiesen und 



unser Satz ist bewiesen. 



/ u \ä 

 Der Spezialfall dieses Satzes z in) =^ 1 ~7i- wurde von Fr. Riesz, ^ der Fall z (n) = ( cos — von 



V 2 y 



H. Lebesgue - bewiesen. Weitergehende Resultate erhält man durch Anwendung von Satz XIV und XV: 



XXIII. Es genüge 9 (u) außer den Voraussetzungen von Satz XXI ('beziehungs\\'eise 

 XXIa) noch folgenden Bedingungen: 'f (//) besitzt in einer Umgebung des Nullpunktes eine 

 absolut stetige (;w— l)-te Ableitung, und es sind in dieser Umgebung, abgesehen von einer 

 Nullmenge, die Ungleichungen erfüll): 



(6) i 9« (ti) I < .4 1 « i !'-> (i =1,2....,///!. 



Dann gilt Gleichung (10) (beziehungsweise (11)) von § 11 in jedem Punkte .v von (fl, a + /) 

 (beziehungsweise in jedem Punkte ;r). in dem / m-te Ableitung seines ;/«-fach iterierten 

 unbestimmten Integrales ist. -- Ist außerdem in einer Umgebung des Nullpunktes 

 (p ( — w) = 'f (m), so gilt (10) (beziehungsweise (11)) von § 11 in jedem Punkte .v von (i?, a + I) 

 (beziehungsweise in jedem Punkte .ri in dem/ \'ei-allgemeinerte //?-te .Ableitung seines 

 ;u-fach iterierten unbestimmten Integrales ist. 



Wir haben nachzuweisen, daß der Kern (2) allen Bedingungen \-on Satz XIV genügt. Die absolute 

 Stetigkeit der (mj— Ij-ten Ableitung wurde ausdrücklich \C)rausgesetzt. Um einzusehen, daß die Bezie ■ 

 hungen (1) von § 7 gelten, hat man nur zu beachten, daß die /-te Ableitung von ('f (»))'•' (/ = 1,2,..., /;/ — 1) 

 eine Summe aus einer endlichen (von 11 unabhängigen) Anzahl \'on Summanden der Form: 



P(n) ('f (»)"--'■ ('p' (//)).''. (f "(«)>'-. . . .('p"> {ii)).ii 

 ist, wo P (n) ein Polynom in n ist und die Exponenten 7, /\,.. .,_/,■ von u unabhängig sind. Da |(p (»)j < 1 



ist für «::^0, haben für /ci^O alle diese Ausdrücke auch nach Multiplikation mit 11 7 für ;/ zx 00 den 

 Grenzwert 0. 



Daß die Bedingungen 1., 2. und 4. von Satz XIV erfüllt sind, ist uns schon bekannt. Es bleibt nur 

 noch nachzuweisen, daß auch Bedingung 3. erfüllt ist. Dazu genügt es wieder nachzuweisen, daß für ein 

 hinlänglich kleines 7 eine Ungleichung besteht: 



1 ri 



-i^ (<p ("))" 

 du'" ^ 



dti <. A' für alle ;/. 



1 Jahresber. Math. Ver., Bd. 17, p. 196. 

 -' A. a. 0., p. 100. 



