632 H. Hahn, 



Nun ist, abgesehen von einer Nulimenge, (« {u))" eine Summe aus einer endlichen (von n unab- 



du'" ' 



hängigen) Anzahl von Summanden der Form: 



P (11) {w (u))"-J (ff' (ii,))i"('s," (u))J=. . . (cp("') (u)yi'" . 



Berücksichtigen wir Ungleichung (5) und (6), so wird es also genügen nachzuweisen, daß für jeden 

 einzelnen dieser Summanden eine Ungleichung gilt: 



(7) ni'P{'>-i)\ //'"+-''(/'-i)+y:0^-3)+y/»(p-"') (i_ßM^')"-;üfw. < .V (für alle w). 



Dieses Integral ist nichts anderes als: 



■^n-j (ß, Ti P, m+ii {p~\)+j.,ip-2)+... 4-i,,, (p-m)). 



Bezeichnen wir noch mit k den Grad des Polynoms P(n), so verhält sich also nach Formel (9) von 

 § 11 der Ausdruck (7) für unendlich wachsendes ii wie; 



w*- —("!+;, 0'-i)t/'2 0-2)+- • ■+Jiii (p-'ii)), 



und unsere Behauptung wird bewiesen sein, wenn wir die Gleichheiten beweisen: 



(8) j\ + 272 + • • • + mj-m = w, 



7i+72+...+i,„ = Ä'. 



Im Falle m ^= 1 sind diese Gleichheiten richtig. Denn die erste Ableitung von (tp (u))" besteht nur 



aus dem einen Gliede: 



ii-('d(ii))"-'^-'s>' (n), 



und es ist also k=^ l,j\ =: 1. Nehmen wir also an, die Gleichheiten (8) seien richtig für /;/ = /, und zeigen 

 wir, daß sie dann auch richtig sind für in ^ / + 1. 

 Differenziert man das Glied: 



(9) P (w.) (tp (n))"-J (cp' (tijy'' ('f (u))J^ . . . ('f ('■-' (//.;) J'i 



d' 

 von ((5 (/f))" nach der Regel' für die Differenziation eines Produktes, so erhält man / + 1 Glieder von 



du' ' 



di "'" ' 



(«(»))". Die in diesen Gliedern auftretenden Zahlen k, /,,].,,■ ■ ■,J, + ^ gehen aus den entsprechenden 



Zahlen von (9) in folgender Weise hervor: Differenziert man in (9) den Faktor ('f (ii))"~'J und läßt die 

 übrigen ungeändert, so vermehrt sich in den als richtig vorausgesetzten Gleichheiten: 



,^Q^ j\ + 2j,+ ... + ij,-— i, 



:h +i2 + • ■ • + Ji — '''. 



7^ um 1,72, •■•>J' bleiben ungeändert, die Gradzahl Ä' vermehrt sich um 1. Gleichzeitig geht ■/ in /+ 1 

 über. Die Gleichheiten bleiben dabei bestehen. — Differenziert man in (9) den Faktor ((pW(?/)y/! (A < /', 

 7/, :>Ü) und läßt die andern ungeändert, so vermindert sich //, um 1 und es vermehrt sich7/, + i um 1, die 

 übrigen^und Ä bleiben ungeändert, /vermehrt sich um 1; die Gleichheiten bleiben dabei bestehen. 

 Differenziert man den Faktor ('i^'' (m)) -'/ und läßt die anderen'ungeändert, so vermindert sich 7,- um 1, die 

 anderen/ und /' bleiben ungeändert, aus i wird / + 1 und es tritt in (10) auf der linken Seite in der ersten 

 Gleichheit der Summand / + 1, in der zweiten der Summand 1 hinzu. Die Gleichheiten bleiben dabei 

 bestehen. Damit ist (8) nachgewiesen und somit auch Satz XXIII bewiesen. 



Nehmen wir nun an, es sei (p("'~i) («) nicht nur in einer Umgebung des Nullpunktes, sondern in 

 jedem Teilintervall <: a, ß >- von (—Z,J) absolut stetig, so sind nun offenbar alle Bedingungen von 

 Satz XIX erfüllt, so daß wir den Satz aussprechen können: 



