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XXIV. Es genüge c (//) außer den Voraussetzungen von Satz XXI noch folgenden 

 Bedingungen: tp («) besitzt eine in jedem Teilintervalle <: a, ß >> von ( — Z, /_) absolut stetige 

 (w— l)-te Ableitung und es sind in jedem solchen Teilintervalle ('abgesehen von einer Null- 

 menge) Ungleichungen der Gestalt: 



(11) |tß«(M)j <^|m!J'-' {i= 1,2. . .,m) 



erfüllt. Dann gilt in jedem Punkte .v- von (<2, a + /), in dem die in <: a, a + l :>• zur Klasse §, 

 gehörige Funktion/eine endliche Ableitung m-ter Ordnung besitzt, die Formel: 



1 



2r|--i "^°° J" ^' 



und zwar gilt diese Beziehung gleichmäf3ig in jedem Teilinte r\-alle <: a', Z/ 5» von {a,a + l), in 

 dem/(A') /-mal stetig differenzierbar ist. — Genügt cp (;i) in einer Umgebung des Nullpunktes 



auch der Relation cp (— it) ^ tp {^i), so gilt (12) auch für die verallgemeinerte /-te Ableitung/^'') (;i;). 

 Ist spezielli/7 eine gerade natürliche Zahl, so kann es vorkommen, daß alle Ableitungen von cp (») 

 existieren und absolut stetig sind. Gilt dann in jedem Teilintervalle «c: a, ß >> von ( — /, J) für jedes / eine 

 Ungleichung der Form : 



|c?®(m)|<^,-|«1^-% 



so gilt (12) für jedes i. Die Spezialfälle unseres Satzes: cp (u) = 1 ~u- und cp (tt) =z cos — wurden von 



Ch. J. de la Vallee-Poussin bewiesen.' 



Für unendliche Intervalle haben wir (unter Berufung auf Satz XIX a): 



XXIV a. »Es genüge cp (») den Voraussetzungen von Satz XXI ß für die Klasse j^/- Ferner besitze 

 tp (w) eine in jedem endlichen Intervalle absolut stetige (;;»—l)-te Ableitung; im Falle der Klasse ^-^ sei 

 ferner cpW («j (/= 1, 2, . . ., in) geschränkt für alle «: im Falle der Klasse )<!;., sei für alle hinlänglich großen 

 \u\ (abgesehen von Nullmengen): 



(13) jcp(0(»)j<» ''^ • (a>0); 



im Falle der Klasse ^.^ sei tür alle hinlänglich großen \'u\ (abgesehen von Nullmengen): 



|cp»(«)|<;;r-(i+''). 



Endlich mögen in jedem endlichen Intervalle Ungleichungen der Form (11) erfüllt sein. Dann gilt für 

 jede in ( — 00, +00) zu j^/ gehörige Funktion, die im Punkte x eine endliche Ableitung 7-ter Ordnung besitzt, 

 die Formel: 



(1 4; ff) (x) = ^ °'.\ . lim n '^ j ^ °/ (i) — (cp (^ - .r))'V/S (*• = 1 , 2 . . . . </^) . 



2rf— ) " = °° ^-«> ^*' 



Diese Beziehung gilt gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle -< a', ^' >-, in dem //-mal stetig 



difterenzierbar ist. - Genügt cp (?;) in einer Umgebung des Nullpunktes der Relation cp(H) =1 cp ( — /f), so 



» 

 gilt (14) auch für die verallgemeinerte /-te Ableitung /t'') (a.-).-< 



1 A. a. O., p. 204 fl'. u. p. 238 ff. Die Resultate von de la Vallee-Poussin sagen auch in diesen Speziallallen insofern etwas 



weniger aus als die des Textes, als sie die gleichmäßige Konvergenz von (12) nur behaupten für jedes Intervall <<?". t" >. das 

 ganz in einem Intervalle {a', b') liegt, in dem/j-mal stetig differenzierbar ist. 



Denkschriften der raathem.-naturH-. Klasse, 93. Band. 85 



