634 H. Hahn, 



Um dies zu beweisen, hat man nur noch zu zeigen, daß Bedingung 1. von Satz XIX a ^ erfüllt ist, 



d' 



was man unmittelbar erkennt, indem man beachtet, daß (cc (?())" sich aus einer endlichen Anzahl 



dit> ' 



Glieder der Form (9) zusammensetzt. Sei der Beweis etwa für den Fall der Klasse ^^^ angedeutet: es ist, 



wenn & eine Zahl zwischen und 1 bedeutet; 



p Jpin) ('f (n)y-J ('f' («))>' ('f" (u))J:--. . . . i'fV) (zO)-';}- du ^ 



Jh 



^ (p {n)y- -&3("--/) / (rp' {u)yji (tp" (?«))■•'■'■= («p(') (m))--'' ^« • 



Das rechts auftretende Integral hat wegen (13) einen endlichen Wert und es ist wegen <:ö <: 1 : 



2 



lim nP (P (n)y r-C'-J) — . 



1Z= oo 



So erkennt man, daß die Integrale: 



geschränkt sind für alle ii, wodurch Bedingtmg 1. von Satz XlXß (das ist Bedingung 1. von Satz XVI a) 

 verifiziert erscheint. Ähnlich argumentiert man in den anderen Fällen. 



§ 13. Singulare Integrale vom Weierstraß'schen Typus. 



Im Weierstraß'schen Falle: 



(p (ii) = e~"" 



sind alle Voraussetzungen der Sätze XXI a, XXIII, XXIV a erfüllt, und zwar für jede unserer Klassen g;. 

 Die Sätze XXI a und XXIII lehren uns also, da bekanntlich: 



ist, daß für jede in ( — 00, +00) zu einer der Klassen '^^, g^, gg gehörige Funktion die Formel: 



/ 1"+ °° 

 /(.r)= lim .± /(^)e-"(^-^)^^^ 



n=oo V '^ J-oo 



in jedem Pimkte gilt, in dem/ (für irgend ein m) verallgemeinerte ;w-te Ableitung seines ;w-fach iterierten 

 Integrales ist, und daß sie gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle <: a', b' :> gilt, in dessen sämtlichen 

 Punkten/ stetig ist. — Satz XXIVa lehrt sodann, daß (für jedes i) die Formel: 



n I ■'-.-,.. d' 



/(0(.r)— lim . 1 \ /"(i)-—— e-"«-*)=<i^ 

 « = co Y •IT J-00 " dx' 



in jedem Punkte gilt, in dem /eine verallgemeinerte endliche Ableitung /-ter Ordnung besitzt, und daß sie 

 gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle -< a', b' >- gilt, in dem/ /-mal stetig differenzierbar ist. 



So wie diese Resultate als Spezialfälle der in den letzten Paragraphen durchgeführten Erörterungen 

 aufgefaßt werden können, kann man sie auch als Spezialfälle eines anderen Typus singulärer Integrale 

 auffassen, den wir als den Weierstraß'schen Typus bezeichnen wollen, und der in mancher Hinsicht 



1 Das heißt Bedingung 1. von Satz XVI a. 



