Darsfelhttig gegebener Fmikfinueii. 635 



einfacher ist, als der in den letzten Paragraplien betraclitete Typus. Es ist für das Folgende bequemer, 

 statt wie bisher Integrale der Form: 



J— oo 



zu betrachten, nunmehr Integrale der Form: 



.'•+00 



J— 00 

 zu betrachten, wo li alle Werte ^ 1 durchläuft. 



XXV. Sei cp (zi) eine für all e reellen// definierte Funktion, für die das verallgemeinerte 

 Lebesgue'sche Integral: 



(C (//) du z^ \ 'S (;/.) dti (= oj) 



existiert und einen von Null verschiedenen Wert o) besitzt. 



Damit für jede in ( — 00, +(») zur Klasse 5-3 gehörige Funktion/, die im Punkte .v stetig 

 ist, die Formel gelte:i 



(2) /W= lim — f(i)'f(k(i-xj)di, 



ist notwendig und hinreichend, daß das Integral: 



r+00 

 !p(//)lc/// 



l'- CO 



einen endlichen Wert habe. Ist dies der Fall, so gilt (2) gleichmäßig in jedem endlichen 

 Intervalle <: a', &' >-, in dessen sämtlichen Punkten/stetig ist. 



Die Bedingung ist hinreichend (auch für gleichmäßi^'e Konvergenz). Es genügt zu zeigen, daß für 

 jede Folge positiver Werte ^„ mit lim Ä„, = + 00 der Kern: 



(p(|,.r,;/) = -^^?(^„(|-.r)) 



den Bedingungen von Satz X a für die Klasse ^3 genügt. 



Um Bedingung 1. von Satz Xa als erfüllt nachzuweisen, zeigen wir zunächst, daß für jedes s :> 0: 



(4) lim (^ °° 1 4- (a, .Y, «, i)\dh — ^ 



gleichmäßig für alle x von <: a', b' >- ist. In der Tat, es ist: 



X+00 h ( r~^ f+00 ) 



I <}< (i X, n, B)\di=~^n \'f{k„ w) i ./ // + I j 'p {k„, II) \dtA=z 



■ 1 (■ r-i'-n^ r+ca 



= } \ l'f {v)\ dv + l |cp {v)\ dv 



W \J- 00 Jkn '. 



wodurch wegen der über das Integral (3) gemachten Voraussetzung und weil der letzte Ausdruck von .v 

 nicht abhängt, die gleichmäßige Konvergenz von (4) bewiesen ist. 



Um nun zu beweisen, daß Bedingung 1. von Xa für die Klasse %.^ erfüllt ist, zeigen wir zunächst: zu 

 jedem ja :> gibt es ein X >- 0, so daß für jede Menge / sich nicht überdeckender Intervalle, deren 

 Gesamtlänge <: X ist, sowie für alle x von < a', b' :>■ : 



I \if {i, X, n, B)\di < u. für alle n 



1 Darunter isi hier wie im Folgenden auch mitverstanden, daß das in dieser Formel jiuftretende Integral für jedes k"^ 1 existiert. 



