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ist. Wir wählen zu dem Zwecke n^ so groß, daß für m>- n^ und alle x von <: a', b' >-; 



X+oo 

 \ '^(i X, n, s)| di, <|j., 

 oo 



was wegen (4) möglich ist; sodann bestimmen wir für jedes einzelne n ein X,,, so daß für jede Menge % 

 deren Inhalt -< X„ ist: 



-^ / Iffi (k,, U)\ du < IL 



ist, was wegen eines bekannten Satzes über Lebesgue'sche Integrale sicher möglich ist. Wir haben nun 

 für das gewünschte X lediglich die kleinste der Zahlen X^, Xg, . . ., X,,^ zu wählen. 

 Wir zeigen weiter: zu jedem ■/] :> gibt es ein A, so daß: 



," — .4 ."+00 



(5) \<^{i,x,n,B)\di<-q; \'!^ (i, x, n,s)\ di <:ri 



,'- 00 .A4 



f 



für alle n und alle x von <: a', b'>-. Wir wählen wieder w,, so groß, daß: 



\^{k,x,n, s)! ^|<;-/) 



für 11 :>> «0 '^n^ ^1'^ -''-' ^'0" "< "^'j ^' ^>- Sodann beachten wir, daß: 



r'+ 00 jj. /^+ 00 



I I H^» -i^> w, s) I J§ ^ -^ / I cp {k„ ti) I <iw, 



und daher weiter für alle x von <: a', h' 



I !,/ 



•+00 7, 



JA "^ jA-hl 



Nun kann aber zu jedem einzelnen n ein An so gewählt werden, daß: 



ä> Z'+OO 



Wir haben daher, um die zweite Ungleichung (5) zu befriedigen, für A lediglich die größte der 

 Zahlan A.^, A^,. . ., A,,^ zu wählen. Analog befriedigt man die erste Ungleichung (5). — Damit ist 

 Bedingung 1. von Xa als erfüllt nachgewiesen. 



Daß Bedingung 2. von X a erfüllt ist, folgt unmittelbar aus dem gleichmäßigen Bestehen von (4) für 

 alle X von < a', h' >-. 



Bedingung 3. von Xa ist erfüllt, denn es ist: 



^ /»+ 00 I .'>+ 00 



-^ j(f (Ä„ {i~x))\ di = - |cp (m)| da, 



J— 00 J— c» 



wo die rechte Seite von 11 und .r nicht abhängt und nach Voraussetzung endlich ist. 



Bedingung 4. von Xa ist erfüllt. Denn wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (4) für alle x von 

 -< a', h' >- ist diese Bedingung nun gleichbedeutend mit folgender: es ist: 



lim ^ ■^ik„{i~x))di = l 



n—00 OJ ^_ 00 



gleichmäßig für alle x von <:a', h' : 



Das aber ist der Fall, wegen der Gleichungen: 



X+ 00 r'-Y 00 



T (^„ (i.-x))di — 1 w (u) du = (ü . 

 00 J~ 00 



