Darstellung gegebener Fimkiionen. 637 



Die Bedingung ist notwendig. Dies erkennt man durch Berufung auf Satz VI a. In der Tat, es ist; 



I (p (i, x,.n)\ äi= -!i~ I I (p (k„ (i ~x))\di = — I i 'f (u) i du . 



Hätte nun das Integral (3,i nicht einen endlichen Wert, so wäre: 





\f(u)\ du=: + oo, 



und es wäre somit Bedingung 3. von VI a nicht erfüllt. 



Man erkennt ohneweiters: 



XXV ß. »Genügt 'f(2«) den zu Beginn von Satz XXV angeführten Voraussetzungen, so ist die das 

 Integral (3) betreffende Bedingung auch notwendig und hinreichend dafür, daß in jedem Punkte x des 

 beliebigen Intervalles (a, b), der ein Stetigkeitspunkt für die in << a,b >- zur Klasse %.^ gehörige Funktion/ 

 ist, die Formel gelte: 



(6) fix) = lim — f'f ii) cp (k (i-x)) di . 



Ist auch Bedingung (3) erfüllt, so gilt (6) gleichmäßig in jedem Teilintervalle <: a', b' :> von (a, b), 

 in dessen sämtlichen Punkten /stetig ist.« 



Wir wenden uns nunmehr zum Studium von Formel (2) für Funktionen der Klassen g^ und %.-,. Da 

 für diese Klassen Bedingung 3. von Via dieselbe ist wie für die Klasse ^g, so sehen wir aus dem zuletzt 

 geführten Beweise, daß Formel (2) jedenfalls nur dann für alle Funktionen, die in (.— oo, +oo) zu J^'i oder 

 zu g,, gehören, gelten kann, vv'enn die das Integral (3) betreffende Bedingung von Satz XXV erfüllt ist. Wir 

 setzen also diese Bedingung von jetzt an als erfüllt voraus. 



XXVI. Sei cp (?«) eine für alle reellen « definierte F.unktion, für die das Integral (3) einen 

 endlichen Wert hat, und für die der Wert w des Integrales (1) nicht verschwindet. Damit 

 Beziehung (2) für jede im Punkte .r stetige Funktion gelte, die in (— oo, +oo) zur Klasse |52 

 gehört, ist notwendig und hinreichend, daß zu jedem /2>-0 ein^ gehört, so daß; 



(7) r \'!}{v)y-dv<:-^: f*°°(<f (v)y dv <:— für»^//. 



J- oo " 



;/ 



Ist diese Bedingung erfüllt, so gilt (2) gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle 

 <: a', b' :>, in dessen sämtlichen Punkten/stetig ist. 



Die Bedingung ist hinreichend. Um Bedingung 1." von Xa für die Klasse j^., als erfüllt nachzu- 

 weisen, genügt es zu zeigen, daß es zu jedem li :> ein j¥gibt, so daß; 



/•+00 



(8) I ('{) (5, X, /.-, /;,))■- J I < M für alle k ^ 1 und alle x \-on < a', b' >. 



J— oo 



Nun ist; 



(4 <;§, X, k, h)y di ~ ^ / ('p (kujr du + 1 (a (ku))- du] = 



J-00 W- |J_oo Jll ) 



k i r ->•'■'• r I 00 \ 



— - - ' (tp (//))■■ <//( + / (a Ui)y- diiK . 



w-U-00 Jk.i, j 



.Also haben wir bei Benützung von (7): 



l 



= 2 A 

 ('Jj ( j, .1-, k, li))' rft: < — , 



wodurch 1,8) bewiesen ist. 



