638 H. Hahn, 



- Daß. Bedingung 2., 3. und 4. von X a erfüllt sind, haben wir schon beim Beweise von Satz XXV 

 gesehen. 



Die Bedingung ist notwendig. Wäre sie nicht erfüllt, so gäbe es ein /;>- und eine Folge von 

 Zahlen A„ mit: 

 (9) lim A„ = + oo. 



sowie eine Folge von Zahlen «„, alle ^ // (oder alle ^ — /')> für die: 



X+oo A f T"» A 



(tp {v)y- dv = ^ oder 1 (9 (v)y dv — -^^ 

 _; ^n \ J— 00 I M„ 



wäre. Sei etwa das erstere der Fall. Wir setzen: //„ = k,,'/! (dann ist ^„ ^ 1) und haben: 



X+ 00 /»+ 00 A 



i Jh n 



Wegen (9) wäre also für den Kern: 



(0 



gewiss Bedingung 1. von Satz Via für die Klasse g-, nicht erfüllt. Damit ist unsere Behauptung erwiesen. 



XXVI a. » Genügt 'f (») allen zu Beginn von Satz XXVI angeführten Voraussetzungen, so ist not- 

 wendig und hinreichend dafür, daß in jedem Punkte x des beliebigen Intervalles {a, h), der ein Stetigkeits- 

 punkt für die in<:i7,& > zu ^^2 gehörige Funktion /ist, die Formel (6) gelte, daß '.p auch der Bedingung (7) 

 genügt. Ist auch Bedingung (7) erfüllt, so gilt (6) gleichmäßig in jedem Teilintervalle {a', b') von <: a, Z'>-, 

 in dessen sämtlichen Punkten /stetig ist.'< 



Die Bedingung ist hinreichend. Das folgt unmittelbar aus dem Beweise von Satz XXVI. 



Die Bedingung ist notwendig. Um dies einzusehen, wird es genügen, statt der Notwendigkeit von (7) 

 die Notw-endigkeit der folgenden Bedingung nachzuweisen: Zu jedem /; :> und X>- 1. gibt es ein A', 

 so daß: 



(tp (m))- du <: — ; / (tp {u)Y du<z. — fax u^h. 

 >.« « Jn u 



In der Tat, ist Bedingung (10) erfüllt, so ist auch Bedingung (7) erfüllt, denn es ist (für u ^ h 

 und X> 1): 



I ('S {u)y- du — \ (cp (u)Y- du -t- 1 ('f in))"' dn + . . .+ \ (tp iu)y du + . . . 



Jn Jn J\ u J\ " ;( 



und somit wegen (10): 



/ {'i(ii)ydu 



A' i , \ 1 A!\ 1 



— f 1 H h . . . H 1- ... I = • — 



M X X" - \—\u 



das heißt: es ist auch Bedingung (7) erfüllt. 



Angenommen nun, es wäre Bedingung (10) nicht erfüllt; dann gäbe es ein Ä>- und ein X>> 1, so 

 daß für eine Folge in <: /?, -f-00) oder in (—00, — //• >- gelegener h„ (wir nehmen etwa das erstere an): 



(11) p''"(tp(M))MM = ^ f lim ^„ = -t- 00^ 



