DarsIclhiHg gfi^ebciier Fnuktioiieii. 639 



wäre. Sei x ein Punkt von (a, b). Wir wählen ein 3>- 0, so daß; 



X e ^ & — .r und s^ h, 

 und setzen: 



«„ 1=1 k,,B. 



Dann v\'ird ^„ ^ 1 und nach (11): 



*i r {? (*« (^ - ^))}' di ^ ^« r "'"'(? («))' ^^^ = ^ , 



SO daß für den Kern: 



Bedingung 1. von Satz VI nicht erfüllt wäre. 



XX\'1I. Sei 'S (u) eine für alle reellen /( definierte Funktion, für die das Integral (3) einen 

 endlichen Wert hat und für die der Wert to des Integrales (1) nicht verschwindet. Damit 

 Beziehung f2) für jede im Punkte x stetige Funktion gelte, die in ( — oo, +oo) zur Klasse 5i 

 gehört, ist notwendig und hinreichend, daß zu jedem /?>-0 ein. 4 gehört, so daß ("abgesehen 

 von Nullmengen): 



(12) |ü>(jt)|<:-A für \u\^h. 



Ist diese Bedingung erfüllt, so gilt (2) gleichmäßig in jedem endlichen Intervalle 

 <:a', &'>, in dessen sämtlichen Punkten/stetig ist. 



Die Bedingung ist hinreichend. Es handelt sich nur darum, nachzuweisen, daß Bedingung 1. von 

 Satz Xa für die Klasse ^^ erfüllt ist: denn für Bedingung 2., 3. und 4. ist es uns schon bekannt. 



Wir haben zu zeigen: ist /?>> beliebig gegeben, so gibt es ein 3i, so daß (abgesehen von Null- 

 mengen): 



k 



(13) — jffi (yfew)|<Ä/ für !«j ^ /; und A' ^ 1 . 



(0 



Nun folgt aus (12) fimmer abgesehen von Nullmengen): 



_^ 

 k I (p (k u)\ <: — für i « , ^ /; und /(' ^ 1 , 



I w I 



mithin auch: 



k\tfi(ku)\'<: — für I « ' > /; und k> 1 , 

 h ■" 



womit (13) bewiesen ist. 



Die Bedingung ist notwendig. Wäre sie nicht erfüllt, so hieße das: es gibt ein // >- und eine, sei 

 es in -< //, +00,), sei es in t — c», — // :> gelegene Folge von Mengen $){,, $0f,,,. . ., Ü)f,, . . ., deren jede einen 

 von verschiedenen Inhalt hat, und derart, daß in den Punkten \'on SÄ,,: 



l?(w)l>--7 

 "I 



ist. Nehmen wir etwa an, diese Mengen liegen in <: /;, +00). .ledenfalls gibt es dann auch eine Folge von 



Punkten »„ (^ /n, so daß der in -<:((„,«„+ 1 > liegende Teil 9JJ„ von 9JJ„ nicht den Inhalt hat. 



Setzen wir: 



H =^ /fe • h 

 ''*• — "•« '* t 



